红黑树的删除

红黑树的删除操作比较复杂。首先我们知道，被删除节点y永远只有一个子树（原因是，如果有两个子树的话，我们就会删除它的直接后继，它的直接后继最多有一个子树；如果它没有子树的话，我们就把它的右子树定为nil）。nil是一个用来取代NULL的节点，颜色为黑。

下面我们分情况来讨论：

• 如果y和x在左子树上
  

1. 如果被删除节点y为红色，那么可以直接用它的黑儿子x来取代它。
2. 如果被删除的节点y是黑色的话，x是y的儿子，那么就继续分情况讨论。

2.1.若x是红色的话，将x的颜色改为黑色。调整结束。

2.2.如果x是黑色的话。那么为了保证黑高度，x节点的颜色就变为为黑+黑（只是代表，见算法导论）用w指向x的兄弟节点。这违反了或红或黑原则。所以需要调整。下面要继续分情况讨论

2.2.1.如果x是root，那么调整结束。

2.2.2.如果x的兄弟节点w是红色的话

将P变成红色，S变为黑色，然后对P进行左旋操作。这样就可以转化成以下的情况2.2.3.2    2.2.4或者2.2.5来处理。

2.2.3.如果x,w都是黑色的，w的儿子也是黑色的。继续分情况讨论

2.2.3.1.如果x的父亲是黑色的

将S（w）和N(x)都抽出一点黑色，那么N变为黑色，S变为红色，P则变为黑+黑，x指向P。继续调整下去。

2.2.3.2.如果x的父亲是红色的

将S（w）和N(x)都抽出一点黑色，那么N变为黑色，S变为红色，P则变为黑色，调整结束。

2.2.4.如果x,w的颜色都是黑色，w的左儿子是红色，右儿子是黑色。

只对w的子树进行操作，不动x和x的父亲。将S染成红色，然后S右旋。则转化成情况2.2.5.继续调整。

2.2.5.如果x,w的颜色都是黑色，w的右儿子是红色，左儿子不管。

交换P和S的颜色，SR染成黑色，然后对P左旋，调整结束。

• 如果y和x在右子树上，情况与上面极其相似，不再详细介绍。
  

1. 如果被删除节点y为红色，那么可以直接用它的黑儿子x来取代它。
2. 如果被删除的节点y是黑色的话，x是y的儿子，那么就继续分情况讨论。

2.1.若x是红色的话，并将x的颜色改为黑色。

2.2.如果x是黑色的话。用w指向x的兄弟节点，用指针x指向该节点，它的颜色为黑+黑。这违反了或红或黑原则。所以需要调整。下面要继续分情况讨论

2.2.1.如果x是root，那么调整结束。

2.2.2.如果x的兄弟节点w是红色的话

2.2.3.如果x,w都是黑色的，w的儿子也是黑色的。继续分情况讨论

2.2.3.1.如果x的父亲是黑色的

2.2.3.2.如果x的父亲是红色的

2.2.4.如果x,w的颜色都是黑色，w的右儿子是红色，左儿子是黑色。

2.2.5.如果x,w的颜色都是黑色，w的左儿子是红色，右儿子不管。

图片来自维基百科。

参考文献：

1. 维基百科。
2. 算法导论