hdu 1098 Ignatius's puzzle数论

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098

给出k值，求最小正整数a使对于任意整数x满足65|f(x)，f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x

介绍下我第一次做的方法，网上大部分都是数学归纳得出的算法，代码看起来要简单些

首先一个多项式是否能被一个整数整除，只要将[1,最高次幂+1]依次代入x检测是否整除，若全部整除，则x为任意整数都能整除，否则不能整除（证明见刘汝佳《算法竞赛》数论例8）

于是依次可以得出等式：

(5*x^13+13*x^5+k*a*x) mod 65=0

(k*a*x) mod 65=65-(5*x^13+13*x^5)mod 65

因为上式a才是要求的未知数，为了下面表示方便以及和代码对应令 a=kx, xx=a

得：(a*xx) mod 65=65 -(5*x^13+13*x^5)mod 65

令 c = 65 - (5*x^13+13*x^5)mod 65

则得同余方程 a*xx = c(mod 65)

引入变量y得二元不定式 : a*xx+65*y=c

再将[1,14]依次代入x，求得c，a，解该方程最小正整数解xx，取所有解中的最大值便是本题的答案

注意计算c的时候x^13比较大，用int不行，但用long或long long hdu又过不了，可以只计算(5*x+13*x)mod 65(原理还在研究中)

#include<stdio.h>#include<string.h>void ex_gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if(b==0) {d=a,x=1,y=0;}    else {ex_gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}}int main(){    int a,c,i;    int x,y,d;    int k;    while(scanf("%d",&k)!=EOF)    {        int flag=0;        int ans=0;        for(i=1;i<=14;i++)        {            a=(int)k*i;            c=65-((5*i+13*i)%65);                        ex_gcd(a,(int)65,d,x,y);            if(c%d)            {                flag=1;                printf("no\n");                break;            }            x=x*(c/d);            int t=65/d;            x=(x%t+t)%t;            if(x>ans) ans=(int)x;        }        if(!flag) printf("%d\n",ans);    }    return 0;}