可并堆——左偏树 Leftist Heap

今天学习了左偏树，这是一个好理解而且好写的数据结构，和二叉堆一样可以在O（1）时间内取出优先级最高的值，O（logn）时间内删除优先级最高的值，不同的是如果要合并两个堆那么二叉堆就只能跪了。而左偏树能在O（logn）的时间内实现两个堆的合并。

左偏树有两个重要的性质，

1、树中每个元素小于或大于其父亲节点的值（堆性质）

2、定义节点的距离为当前节点向下到叶子节点最少所需的边数，叶子节点的距离为0,空节点的距离是-1，令dist[i]表示i节点的距离，那么dist[i]=dist[right[i]]+1;dist[left[i]]>=dist[right[i]]，所以左偏树的左右子树都是左偏树。

如下图就是一颗左偏树

左偏树最核心操作就是【合并】。删除最大，插入都可由合并得到

假如我们要构造最小堆

Merge(A,B)表示合并A和B

假如A或B中的一个为空返回另一棵树即可

否则，若A根节点小于B的根节点（否则把A和B交换），把A的根作为新的树的根然后Merge(right(A),B)即可

由于Merge过程中性质（2）可能被破坏，那么把左子树和右子树交换重新计算dist即可

C++ Code：

Lheap* merge(Lheap* a,Lheap *b){if(a==NULL)return b;if(b==NULL)return a;if(b->val>a->val)swap(a,b);a->r=merge(a->r,b);if(dis(a->l)<dis(a->r))swap(a->l,a->r);a->dis=dis(a->r)+1;return a;}

插入操作很简单，把插入的点看做看做一个左偏树，直接Merge即可

删除最小也很简单，先Merge(left(A),right(A)),再删除原来的根就行

查询即为根节点的值

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题目：HDOJ 1512 Monkey King

题目大意：有N个数字，初始情况，每个数字单独构成一个集合，每次把X，Y所在集合的最大值除以2，然后合并X和Y所在集合，询问新集合的最大值，若XY本身就在同一集合输出-1

做法：并查集+左偏树维护即可

Code C++:

Accepted15121046MS16180K1627 BG++

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#define MAXN 100001using namespace std;struct Lheap{int val,dis;Lheap *l,*r;};Lheap* tree[MAXN];int fa[MAXN];void init(Lheap* &t,int val){t=new Lheap;t->val=val;t->l=t->r=NULL;t->dis=0;}int findset(int x){int y,root,t;y=x;while(y!=fa[y])y=fa[y];root=y;y=x;while(fa[y]!=y){t=fa[y];fa[y]=root;y=t;}return root;}int Union(int x,int y){int fx=findset(x);int fy=findset(y);if(fx==fy)return -1;fa[fx]=fy;return fy;}int dis(Lheap *a){return (a)?(a->dis):(-1);}Lheap* merge(Lheap* a,Lheap *b){if(a==NULL)return b;if(b==NULL)return a;if(b->val>a->val)swap(a,b);a->r=merge(a->r,b);if(dis(a->l)<dis(a->r))swap(a->l,a->r);a->dis=dis(a->r)+1;return a;}Lheap* delmax(Lheap *a){if(!a)return NULL;return merge(a->l,a->r);}int solve(int fx,int fy){Lheap *t1,*t2,*t3,*t4;init(t1,tree[fx]->val/2);t3=delmax(tree[fx]);t3=merge(t1,t3);init(t2,tree[fy]->val/2);t4=delmax(tree[fy]);t4=merge(t2,t4);fy=Union(fx,fy);tree[fy]=merge(t3,t4);return tree[fy]->val;}int main(){//freopen("gen.out","r",stdin);int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++){int atk;scanf("%d",&atk);fa[i]=i;init(tree[i],atk);}int que;scanf("%d",&que);while(que--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);int fx=findset(x),fy=findset(y);if(fx!=fy)printf("%d\n",solve(fx,fy));else printf("-1\n");}for(int i=1;i<=n;i++)delete tree[i];}return 0;}