二次函数

基本定义：

一般地，把形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic

二次函数及其图像

function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线

^[1]，顶点坐标

，交点式为

（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是

和

。

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。^[2-3]

^{函数性质：}

1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。对称轴为直线

。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P

。当

时，P在y轴上；当

时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c

6.抛物线与x轴交点个数：

时，抛物线与x轴有2个交点。

时，抛物线与x轴有1个交点。当

时，抛物线与x轴没有交点。

当

时，函数在

处取得最小值

；在

上是减函数，在

上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是

。

当

时，函数在

处取得最大值

；在

上是增函数，在

上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是

。

当

时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。

7.定义域：R

值域：当a>0时，值域是

；当a<0时，值域是

。

奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①一般式：

⑴a≠0

⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下；

⑶顶点：

；

⑷

若Δ>0，则图象与x轴交于两点：

和；

若Δ=0，则图象与x轴切于一点：

若Δ<0，图象与x轴无公共点；

②顶点式：

此时，对应顶点为，其中, ；

③交点式：

图象与x轴交于

和

两点。

表达式：

顶点式

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)^[4]对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数

的图像相同，当x=m时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。^[3]

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。^[5]

交点式

y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0),我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：

二次函数(16张)

(韦达定理)

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。^[3]

交点式

y=a(x-x₁)*(x-x₂)

若ax²+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x₁)(x-x₂)此抛物线的对称轴为直线

。

三点式（已知三点求一般式）

方法1：

已知二次函数上三个点，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)。把三个点分别代入函数解析式，有：

得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

方法2：

已知二次函数上三个点，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)

利用拉格朗日插值法，可以求出该二次函数的解析式为：

与X轴交点的情况

当

时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x₁, 0)和(x₂, 0)。

当

时，函数图像与x轴只有一个切点，即

。^[3]

当

时，抛物线与x轴没有公共点。x的取值是虚数（

）^[3]

函数图象编辑

基本图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax²+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由

平移得到的。^[3]

轴对称

二次函数图像^[6]

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线

对称轴与二次函数图象唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图象的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。

a,b同号，对称轴在y轴左侧

a,b异号，对称轴在y轴右侧^[3]

顶点

二次函数图象有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²+k。

,

。^[3]

开口

二次项系数a决定二次函数图象的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图象的开口越小。^[3]

决定位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。^[3]

决定交点的因素

常数项c决定二次函数图象与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）

注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。^[3]

与x轴交点个数

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图象与x轴有2个交点。

k=0时，二次函数图象与x轴只有1个交点。

质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图象与x轴无交点。

当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图象的开口向下，函数的值域是y<k

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数^[3]

5函数图象编辑

对称关系

对于一般式：

①y=ax²+bx+c与y=ax²-bx+c两图象关于y轴对称

②y=ax²+bx+c与y=-ax²-bx-c两图象关于x轴对称

③y=ax²+bx+c与

关于顶点对称

④y=ax²+bx+c与y=-ax²+bx-c关于原点中心对称。（即绕原点旋转180度后得到的图形）

对于顶点式：

①y=a(x-h)²+k与y=a(x+h)²+k两图象关于y轴对称，即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

②y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²-k两图象关于x轴对称，即顶点(h, k)和(-h, k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

③y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²+k关于顶点对称，即顶点(h, k)和(h, k)相同，开口方向相反。

④y=a(x-h)²+k与y=-a(x+h)²-k关于原点对称，即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。

（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）^[3]

6五点法编辑

五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。

注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。

五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点，与x轴交点与y轴交点及其对称点。