Gray码及其应用

摘要：控制台上有四个开关和一个按钮，每个开关都可以扳到ON和OFF中的一个，只有当四个开关的ON/OFF状态处于某个唯一的正确组合时，按动按钮之后才能打开密室的大门。为了以最快的速度逃脱密室，你打算怎么办？

控制台上有四个开关和一个按钮，每个开关都可以扳到ON和OFF 中的一个，按钮上用粗体写着OPEN。只有当四个开关的ON/OFF状态处于某个唯一的正确组合时，按动按钮之后才能打开密室的大门（但你不知道这个正确 的组合是什么）。你需要做的事情很明确：不断扳动开关，尝试各种各样的ON/OFF组合，然后按动按钮，直到成功把门打开为止。为了以最快的速度逃脱密室，你打算怎么办？

一个游戏引发的思考

几年前，我玩过一个第三人称冒险游戏，游戏的名字已经不记得了，唯一印象深刻的就是上面这个场景。为了避免自己忘记哪些组合已经试过，我们只需要按照某种规律逐一尝试所有的组合就行了。比方说，用数字0来表示OFF状态，用数字1来表示ON状态，然后按照二进制数的规律依次尝试2⁴=16种不同的组合：0000, 0001, 0010, 0011, 0100, …, 1110, 1111。其中，从0000到0001需要扳动一次开关，从0001到0010需要扳动两次开关……最恐怖的是，从0111到1000需要扳动全部四个开 关。在最坏情况下，最后试到的那个组合才是正确的组合，那么整个过程下来，我们一共要扳动26次开关！更要命的是，在游戏中，扳动一次开关非常费劲，你需要持续按住某个按键很长时间才行。

于是，一个有意思的问题出现了：换一种尝试的顺序，能让我们少扳动几次开关吗？最少需要扳动几次开关呢？

容易看出，由于我们一共要试16种不同的组合，因此整个过程至少要扳动15次开关。会不会扳动15次开关就足够了呢？这意味着，每两个相邻的组合之间都只相差一个开关的位置。如此理想的解是否真的存在，这我不太清楚；但我当时立即想到，如果要试遍三个开关的所有2³=8种组合，只扳动7次开关确实是可以办到的。这相当于沿着立方体的棱既无重复又无遗漏地经过每一个顶点。其中一种方案如图1所示，它所对应的试验顺序如下。

000 → 001 → 011 → 010 → 110 → 111 → 101 → 100

图1 把8个三位01串看作立方体的8个顶点，两个01串之间有一条棱当且仅当它们只相差一位

当时我的想法很简单：既然知道怎样快速遍历三个开关的所有组合，那就干脆让第一个开关保持OFF状态，把所有形如0???的组合都先试一遍吧：

0000 → 0001 → 0011 → 0010 → 0110 → 0111 → 0101 → 0100

接下来呢？我的想法是，把第一位扳成1，然后像刚才那样再遍历一次后三位的组合吧。把0100变成1000需要扳动2次开关，再把后三位的组合全试一遍又需 要7次开关，最后一共扳动了16次开关，嗯，已经很不错了。但是，刚扳完第一个开关，把0100变成了1100后，本想继续把后三位还原成000的，却突 然一下意识到：1100本来就是一个新的组合呀。干脆先把这个组合试了再说。

0100 → 1100

紧接着，就像有人用一根大棒把我敲醒了一样，我猛然意识到：然后就从1100出发，逆着刚才的顺序遍历后三位的所有组合，最后回到1000不就行了吗？

1100 → 1101 → 1111 → 1110 → 1010 → 1011 → 1001 → 1000

这样，我们就实现了扳动15次开关既无重复又无遗漏地遍历四个开关的所有16种组合，每扳动一次开关得到的正好都是一种新的组合！

利用类似的方式，我们可以继续扩展，把32个五位01串也排成一列，使得每个01串到下个01串都只需要变动一位。当然，刚才那8个三位01串的排列顺序， 本身也可以看作是由更基本的情况扩展而来的。事实上，我们可以像表1那样，从一位01串这种最最基本的情况出发，不断通过“镜像”和“添首位”的方法，最 终得到把2ⁿ个n位01串排成一列的方案，使得相邻两个01串总是只差一位。

表1 生成镜像二进制编码的方法

我们姑且给它起个名字，叫做“镜像二进制编码”吧。

PCM信号转换器的故事

人 们刚开始实现数字通信的时候，曾经为如何把模拟信号转化为数字信号而伤透脑筋。1937年，英国科学家Alec Reeves发明了一种将模拟信号进行数字化的方法，即我们现在所说的脉冲编码调制（pulse-code modulation，缩写成PCM或许大家会更熟悉一些）。假设我们有一段声音，它的波形图如图2所示。那么，我们就间隔相等地在时间轴上取一些点，看 看此时波形图的高度在什么位置，并用二进制数来表示。如果使用五位二进制数的话，那么每个采样结果都有32种不同的取值，可以与十进制中的0到31相对 应。对于普通的人声来说，为了充分刻画出波的形状，理论上每秒至少需要采样8000次才行；采样频率越高，还原真实声音的效果也就越好。

图2 脉冲编码调制示意图

这种编码方式确实不错，关键是，如何设计一种信号转换器，让它能自动地按照这种方式把模拟信号转换成数字信号？总不能雇几个员工去人肉完成每秒上千次的采样和转换吧。

图3 用阴极射线管制作一个信号转换器

人们巧妙地用阴极射线管和X、Y两组偏转板解决了这个问题。如图3所示，电子枪射出的电子束首先从两块Y偏转板之间穿过，并且受到Y偏转板所产生的电场的影 响而上下偏转，其偏转幅度由输入电信号决定；偏转后的电子束继续从两块X偏转板之间穿过，并受其产生的电场影响而左右偏转。X偏转板上的电位差由某个锯齿 波发生器决定，其效果就是让电子束不断地从左至右扫描。在电子束到达电子收集屏之前，还必须经过一个上面有穿孔的“编码盘”。如果我们想要把每一个采样值都转化成五位01串的话，那么编码盘上的孔应该如图4所示。把所有的东西结合起来，电子束便能根据输入信号在不同的高度处从左往右扫描，每扫描一次都会产 生一个五位01串，其中1意味着电子束穿过了编码盘上的孔，0意味着电子束被编码盘挡住了。如果电子束在r₁所示的高度处扫描一次，得到的五位01串就是 01101，或者说十进制的13。

这种信号转换器的原理的确巧妙，但理论与实际之间还是有一定距离的。在实际应用时，我们会遇到一个有些意想不到的问题。让我们假设，某个采样值正好是 23.5，于是电子束会在图4的r₂高度处从左往右扫描一次。注意，这条扫描线经过了四个孔的边界，于是完全有可能出现这样的误差：电子束穿过了第二位对 应的孔，同时也穿过了第三位、第四位和第五位所对应的孔。于是，这个值最后就被编码为了11111。或者，电子束完全错过了后面四个位置上的孔，于是这个 值就被编码为了10000。在最坏情况下，我们甚至会把15.5编码为11111或者00000，这是不能容忍的错误。怎么办呢？

1947年，贝尔实验室的Frank Gray提交了一项专利，漂亮地解决了这个问题。Frank Gray的方法非常简单：把传统二进制编码改为镜像二进制编码！新的编码盘如图5所示。我们用五位镜像二进制编码中的第一项，即00000，来表示最小的 高度值，或者说十进制的0；用镜像二进制编码中的下一项，即00001，来表示次小的高度值，或者说十进制的1；类似地，用00011表示2，用 00010表示3，用00110表示4，以此类推，一直到用10000表示31。这样，任意两个相邻高度所对应的数字编码都只有一位的差异，换句话说恰好 从它们中间穿过去的扫描线只会遇到一处边界。如果扫描线的高度恰好是15.5，则转换后的结果要么就是01000（它代表15），要么就是11000（它 代表16），刚才的误差问题就解决了。

Frank Gray在专利文件中说，这种新的编码方式还没有一个名字，并且首次提出了“镜像二进制编码”（reflected binary code）这个名字。后来，人们逐渐开始用“Gray码”来指代这种编码方式，“Gray码”这个名字也就慢慢固定了下来。

Gray码的其他应用

在工业上，Gray码还有很多应用。假如有一个温度（或水位、气压、比分等）检测系统，当它探测到数值从7变到8时，系统便会把0111改成1000。万一 在改动的过程当中正好出现了读取操作，此时读到的数据就是错误的。采用Gray码的话，数值的加1和减1操作将会成为真正的原子操作，这个问题也就能避免 了。

有趣的是，n位Gray码的第一个01串和最后一个01串之间也只差一位。因此，如果把n位Gray码看作是循环的，任意两个相邻的 01串仍然满足要求。有些方向传感器会使用Gray码来表示方向，便是用到了Gray码的这个性质。例如，不妨用000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100依次表示八个方向，那么不管是从哪个方向转到哪个相邻的方向，所对应的01串都只变了一位，这样也就不会产生错误的“中间数值”了。