素数筛法【Sieve Of Eratosthenes + Sieve Of Euler】

来源：互联网发布：绩效工资表软件编辑：程序博客网时间：2024/05/17 01:34

拖了有段时间，今天来总结下两个常用的素数筛法：

1、sieve of Eratosthenes【埃氏筛法】

这是最简单朴素的素数筛法了，根据wikipedia，时间复杂度为 $O(n \log\log n)$ ，空间复杂度为O（n）。

算法思想：先假定所有的数都是素数，然后从最小的素数2出发，把素数的所有倍数筛出去。又因为一个数的质因数都是成对出现的，比如100 = 1*100 = 2*50 = .....= 10*10，所以筛素数时只用筛到 n的开平方就行了。

伪代码如下：

对于任意的范围n，

设bool prime[ ]，初始化 2→n 的元素为false，

for（i=2; i < sqrt(n); i+++）

if (!prime[ i ])

for(j = i*i; j * i < n; j+=i)

prime[ j ] = false

2、sieve of Euler【欧拉线性筛】

尽管把埃氏筛法“优化”到n的开平方，但是还是做了很多重复的工作，比如合数 6，它就会被2，和3重复筛出。

根据“每个整数都可以分解成它的质因数之积”，因此每个数只需要被它的最小质因数筛除。

由上可以得到线性时间复杂度的筛法，欧拉筛法。

算法思路：

欧拉筛是个以空间换时间的算法，用prime[ ]数组记录素数，初始bool数组is_prime[ ]为false记录每个数是否是素数，

伪代码如下：

k = 0

for(i = 2; i < n; i++)

if(!is_prime[i])

prime[k++] = i

for(j = 0; j < k&&i * prime[ j ]; j++)

is_prime[i*prime[ j ]] = true;

if(i % prime[ j ]) break; //关键步骤。在此的prime[ j ]一定是i的最小质因子，you can gusse why~0-0

【以下是实现代码，外加两种算法在时间上的比对】

#include<iostream>#include<cstdio>#include<ctime>#include<cstring>using namespace std;const long long maxn = 100000000;bool  is_prime[maxn];int EUprime[maxn];bool ERprime[maxn];int euler(int n){   int k = 0;   memset(is_prime,false, sizeof(is_prime));   for(int i = 2; i <= n; i++){    if(!is_prime[i])        EUprime[k++] = i;    for(int j = 0; j < k&&i * EUprime[j] <= n; j++){        is_prime[i*EUprime[j]] = true;        if(i % EUprime[j] == 0) break;    }   }   return k;}int eratosthense(int n){    int k = 0;    memset(ERprime,false,sizeof(ERprime));    for(int i = 2; i * i <= n; i++){        if(!ERprime[i]){            for(int j = i*i; j <= n; j+=i){                ERprime[j] = true;            }        }    }    for(int i = 2; i <= n; i++)    if(!ERprime[i]) {k++;}    return k;}int main(){    //int n;    clock_t st,ed;    double sec;    for(int i = 10; i < 1000000000; i *= 10){      cout<<i<<":"<<endl;        int res;        st = clock();        res = eratosthense(i);        ed = clock();        sec = (double)(ed - st) / (double) CLOCKS_PER_SEC;        printf("eratosthense :\t\t%8d\t%.8lf\n", res, sec);        st = clock();        res = euler(i);        ed = clock();        sec = (double)(ed - st) / (double) CLOCKS_PER_SEC;        printf("Euler :\t\t%16d\t%.8lf\n", res, sec);    }}

【可以看到在小数据上两个算法效率差别不大，在大数据情况下，Euler筛法的效率明显比埃氏筛法高】

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