二叉搜索树转换为有序双向链表

一、问题描述

输入一棵二叉搜索树，现在要将该二叉搜索树转换成一个排序的双向链表。而且在转换的过程中，不能创建任何新的结点，只能调整树中的结点指针的指向来实现。

二、实现思路

在二叉搜索树中，每个结点都有两个分别指向其左、右子树的指针，左子树结点的值总是小于父结点的值，右子树结点的值总是大于父结点的值。而在双向链表中，每个结点也有两个指针，它们分别指向前一个结点和后一个结点。所以这两种数据结构的结点是一致，二叉搜索树之所以为二叉搜索树，双向链表之所以为双向链表，只是因为两个指针的指向不同而已，通过改变其指针的指向来实现是完全可能的。

例如如下的二叉搜索树，

若采用中序遍历，其遍历顺序为1-2-3-4-5-6-7，通过适当的指针变换操作，可变成的双向有序链表如下：

从上图，我们可以看出，为了减少指针的变换次数，并让操作更加简单，在转换成排序双向链表时，原先指向左子结点的指针调整为链表中指向前一个结点的指针，原先指向右子结点的指针调整为链表中指向下一个结点的指针。例如对于上面的值为2的指点，调整后，它的前一个结点为1，后一个结点为3，而结点2的左子结点本来就为1，右子结点本来就为3.

对于树的操作，通常是在遍历树的各个结点的过程中，通过对结点实施某些操作来完成的，这个算法也不例外。由于要求转换后的双向链表也是有序的，而我们从上面也可以看到，当我们以中序遍历二叉搜索树时，其遍历的结点就是有序的，所以在这里我位采用的遍历顺序应该是中序。

那么我们应该如何调整指针，让二叉搜索树变成一个双向有序链表呢？当遍历到根结点时，我们可以把树看成三个部分：根结点，根的左子树和根的右子树。如上图的二叉排序树，就分成了根结点4、以结点2为根的左子对和以结点6为根的右子树。从变换的链表中我们可以看到，应当把结点4的left指针指向结点3，把结点3的right指针指向结点4，而由于我们采用的是中序遍历，所以当我们遍历到结点4时，结点4的左子树已经转化为一个有序的双向链表，而结点3是这个已经转化的双向链表的尾结点，所以我们应该用一个变量last_node来保存最后一个结点的指针，以便在与根结点连续时使用。然后把这个变量last_node的值更新为指向根结点4。对于结点4的右子树，采取相似的操作。至于具体的实现，我们只需要对所有的子树递归地执行上述操作即可。其操作过程如下：

三、实现代码

#include <iostream>#include <stdlib.h>#include <time.h>using std::cout;using std::cin;using std::endl;struct BSNode{    //定义二叉搜索树的结点结构    BSNode *left;    BSNode *right;    int data;};//定义各种用到数据类型typedef BSNode* BSTree;typedef BSNode* DList;typedef BSNode DLNode;//往二叉搜索树tree中插入值为data的结点BSTree InsertNode(BSTree tree, int data);//把二叉搜索树tree转化成双向链表，返回头结点DList BSTreeToList(BSTree tree);//遍历二叉搜索树tree的各个结点,并进行指针调整void ConvertNode(BSTree tree, BSNode **last_node);//查找二叉搜索树tree的最左结点BSNode* FindLeftmostNode(BSTree tree);//以中序输出二叉搜索树treevoid PrintBiTree(BSTree tree);//输出链表void PrintList(DList list);BSTree InsertNode(BSTree tree, int data){    if(tree == NULL)    {        //找到插入点，则插入        tree = new BSNode;        tree->left = NULL;        tree->right = NULL;        tree->data = data;    }    //插入在其右子树中    else if(tree->data < data)        tree->right = InsertNode(tree->right, data);    //插入在其左子树中    else if(tree->data > data)        tree->left = InsertNode(tree->left, data);    return tree;}DList BSTreeToList(BSTree tree){    if(tree == NULL)        return NULL;    //找到最左边的结点，即转换后链表的头结点    DLNode *head = FindLeftmostNode(tree);    BSNode *last_node = NULL;    //进行转换    ConvertNode(tree, &last_node);    return head;}BSNode* FindLeftmostNode(BSTree tree){    if(tree == NULL)        return NULL;    while(tree->left != NULL)        tree = tree->left;    return tree;}void ConvertNode(BSTree tree, BSNode **last_node){    if(tree == NULL)        return;    //对tree的左子树进行转换，last_node是转换后链表最后一个结点的指针    if(tree->left != NULL)        ConvertNode(tree->left, last_node);    //调整tree的left指针，指向上一个结点    tree->left = *last_node;    //调整指向最后一个结点，right指向下一个结点    if(*last_node != NULL)        (*last_node)->right = tree;    //调整指向最后链表一个结点的指针    *last_node = tree;    //对tree的右子树进行转换，last_node是转换后链表最后一个结点的指针    if(tree->right != NULL)        ConvertNode(tree->right, last_node);}void PrintBSTree(BSTree tree){    if(tree == NULL)        return;    PrintBSTree(tree->left);    cout << tree->data << " ";    PrintBSTree(tree->right);}void PrintList(DList list){    DLNode *node = list;    while(node != NULL)    {        cout << node->data << " ";        node = node->right;    }}int main(){    BSTree tree = NULL;    srand(time(NULL));    cout << "Insert Data Order is:" << endl;    for(int i = 0; i < 10; ++i)    {        //插入随机的10个数，生成二叉排序树        int data = rand()%100;        cout << data << " ";        tree = InsertNode(tree, data);    }    cout << "\nThe BSTree is: " << endl;    PrintBSTree(tree);    //进行转换    tree = BSTreeToList(tree);    cout << "\nBiTree To List: "<< endl;    PrintList(tree);    return 0;}

运行结果如下：

四、代码分析

由于二叉排序树中不允许有相同的元素，在随机产生的10个数中，有两个是相同的3和73，所以实际插入到二叉排序树中的结点只有8个，然后我们以中序方式遍历输出二叉排序树中的数据，然后输出转换后的链表的数据，发现其顺序是一致的，从而证明算法的正确性。

该算法的实现的核心函数为BSTreeToList，ConvertNode和FindLeftMostNode.

我们可以看到在函数BSTreeToList中，我们有一个变量last_node用来记录转换了的链表末结点，由于在惯例中，我们会返回链表的第1个结点（从1开始计数）的指针，而last_node指向的却是末结点，我们可以通过该指针来从尾走到头来获取第一个结点的指针，但是在这里我却没有这样做，因为它需要对每个结点都遍历一次，时间复杂度为O（n）。而是在变换前，找到二叉排序树的最左结点的指针。因为排序二叉树是有序的，最左的结点即为最小的结点，而我们的算法也不会删除或新增结点，也就是说结点的地址是不会改变的，所以最左的结点就是转换后的链表的第1个结点，其时间复杂度为O（logN）。

五、时间复杂度与空间复杂度

该算法首先从根要点一直向左走，找到最左边的结点，其时间复杂度为O(logN)，然后对二叉排序树中的每个结点遍历一次，进行指针变换，其时间复杂度为O(N)，所以总的时间复杂度为O(N)。

至于空间复杂度，由于ConvertNode函数进行递归调用，其函数有两个开参，而函数栈中的函数调用层数不会超过树高，所以其空间复杂度为O(logN)。