bzoj 1005 [HNOI2008] 明明的烦恼 题解

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【原题】

1005: [HNOI2008]明明的烦恼

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Description

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

2

HINT

两棵树分别为1-2-3;1-3-2

【分析】开始觉得无从下手啊。在SYC1999和iGzhou的指导下，先了解了一种神奇的东西，叫做：prufer序列（无奈有这么多的公式、定理，以前怎么没有听说过呢）。

介绍一下：

一种生成Prufer序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T，顶点的编号为{1,2,...,n}，在第i步时，移去所有叶子节点（度为1的顶点）中标号最小的顶点和相连的边，并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中，重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。以右边的树为例子，首先在所有叶子节点中编号最小的点是2，和它相邻的点的编号是3，将3加入序列并删除编号为2的点。接下来删除的点是4，5被加入序列，然后删除5，1，此时原图仅剩两个点，Prufer序列构建完成，为{3,5,1,3}

这其实就是对于一棵树的编码罢了。这有什么用呢？有一个定理是这样的：prufer编码是可以和无根树之间形成一一对应关系。这样子，计算树的个数，就转化成了计算序列的个数了。注意：题目里每个点的要求个数要减1后计算排列的个数，因为会有父节点。

【思考】怎么计算呢？就用排列组合的原理。我们先考虑不是-1的点。一共有N-2个格子，设当前的点要求为a1(已经减1了）,我们可以放的总数是：C（N-2，a1）。这样占了a1个格子。下一个a2的情况就是C（N-2-a1,a2)。依次类推。

然后是-1的情况，我想了很长时间。

原来是这样想的：设最后还有K个格子，且有SUM个-1。我们用DP思路。f[i][j]表示放到最后K个格子中的第i个格子时，放第j种颜色（注意颜色是不下降的，最后只需乘上阶乘即可）的情况数。但是因为要用高精，DP会很麻烦。

感谢HHD大牛的指导：其实就是SUM^K。为什么？对于每一个格子，我们都可以放SUM种情况~~~~。

【优化】为了不超时，用质数表来优化。

【代码】

#include<cstdio>using namespace std;const int size=168;const int data[size+1]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997};int n,len,i,a,sum,j,k;int t[10001],ans[size+1];void C(int n,int m){  int i,p,j;  for (i=m+1;i<=n;i++)  {    p=i;j=1;    while (p>1){while (p%data[j]==0) {ans[j]++;p/=data[j];}j++;}  }  for (i=1;i<=n-m;i++)  {    p=i;j=1;    while (p>1){while (p%data[j]==0) {ans[j]--;p/=data[j];}j++;}  }}int main(){  scanf("%d",&n);len=n-2;  for (i=1;i<=n;i++)  {    scanf("%d",&a);    if (a==0||len-(a-1)<0) {printf("0");return 0;}    if (a==-1) {sum++;continue;}a--;    C(len,a);len-=a;  }  if (len)  {    j=1;    while (sum>1){while (sum%data[j]==0) {ans[j]+=len;sum/=data[j];} j++;}  }  t[1]=1;k=1;  for (i=1;i<=size;i++)    while (ans[i])    {      ans[i]--;      for (j=1;j<=k;j++) t[j]*=data[i];      for (j=1;j<=k;j++) if (t[j]>9) {t[j+1]+=t[j]/10;t[j]%=10;}      while (t[k+1]) {k++;t[k+1]+=t[k]/10;t[k]%=10;}    }  for (i=k;i>0;i--)printf("%d",t[i]);  return 0;}