一道算法题的数学分析

题目：

一个实数序列：a_i = (a_i-1–a_i+1)/2 + d, (1<i<N) (N<60)。键盘输入N, d, a₁, a_n, m，求a_m。

分析：

一看即知：这是一个数学味道极浓的算法题，首先需要一番推理分析才能编程，否则会无处下手。

1）首先，我们对数列的递推式进行一番变换：
a_i+1 = a_i-1 + 2d – 2 a_i
a_i  = a_i-2 - 2 a_i-1 + 2d  ①
a₄ = a₂ - 2 a₃ + 2d = 5a₂ - 2 a₁ - 2d

 

2）数列中各元素间没有乘除运算，所以这是一个线性递推的数列，因此公式①中各项的系数一定存在一个线性规律，而且是各项系数本身的规律，与其它系数没有关系，因此如果能够找到这些规律，那么这道题也就应刃而解了。
递推如下：
a₃  = a₁ - 2 a₂ + 2d
a₄ = a₂ - 2 a₃ + 2d = 5a₂ - 2 a₁ - 2d

 

题目中a1已知，未知的是a2，

所以可以令：a2 = X, 各项系数为Pi, Qi, Ri, 则：

A_{i -1}= P_i-1*X+Q_i-1*a₁+R_i-1*d,

A_i = P_i*X+Q_i*a₁+R_i*d,

A_i+1 = P_i+1*X+Q_i+1*a₁+R_i+1*d,

再由公式①，可以求出Pi,Qi,Ri各自的递推公式。

以下略。。。