最速下降法与Newton法

一个简单的最优化问题如下：

在二维空间上寻找函数的最大值。

 

一般我们常见的解析法，是求导，得极值点。这里不再讨论。

很多情况下解析法很难求解，常会用到一种迭代慢慢逼近的方法，就是迭代法。如下图。

迭代法由一个基本的可行点出发，依次产生一个可行点列，x1,x2,…,xk，f(xk+1)<f(xk)，并且使得某个xk恰好是问题的一个最优解。

迭代法基本步骤如下：

1.      一个初始的位置x0;

2.      一个迭代搜索的方向p

3.      一个前进的步长a.

 

最速下降法

一个很自然的问题，关于目标函数f(x),我们要选择哪个方向才能够下降最快呢？

由Taylor公式有：

其中a表示步长，p表示方向。

当a一定时，p取-g(x)方向，能够使得f(x+ap)最小，也就是当前下降最快，即

为最速下降方向。

如果做精确的搜索，那么我们可以求得一个精确的步长：

 

不过精确搜索计算量过大，一般不采用这种方法，而是任意指定一个可行的步长。

 

关于收敛性：

经证明，最速下降法是整体收敛的，且为线性收敛，收敛速度较慢。

用matlab求解Y=X^2-3X+1，如下：

clear;clc;X=-1:0.1:3;Y=X.*X-3*X+1;e=0.0001;a=0.5;e_temp=1;x=-1;count=0;while(e_temp>e)    p=2*x-3;    x_temp=x;    x=x-a*p;    e_temp=x-x_temp;    count=count+1;endminY=x*x-3*x+1minX=xcountplot(X,Y);

图：

结果为：

minY =

  -1.2500

minX =

   1.5000

迭代次数：2

 

Newton法

最速下降法以线性的Taylor展开得出下降方向，本质使用线性函数假设目标函数。我们想要达到更快的收敛，需要考虑对目标函数的高维逼近。

我们把f(x)看做关于xk的一个二维函数，然后用解析法求出二维函数的精确最小值，得到xk+1。

首先，f(x)在xk处Taylor展开，只保留到二次：

我们把xk当做已知变量，x为未知，用解析法直接求解x，得到近似值。

如果f(x)是二次函数，那么Newton法一次就能得到最优值。

另一种更直观的解释：

假设函数f(x)，如下，现在要求解f(x)的零点。

可以按照上图中的方法迭代求解，每次的更新如下：

现在，对于l(x)，我们要求其最小值，也就是l'(x)=0的点。参照上面的方法，我们有如下更新：

收敛性：

只有当初始点x0充分接近极小点时，才能保证收敛，否则直接扔掉二次以后的Taylor项，会导致局部收敛，而且每次迭代都要计算G，如果G是奇异的，还不能得到解。

Newton是二次收敛的，是其最大优势。

 

Matlab求解Y=X^3+10X^2+1,如下：

clear;clc;X=-1:0.1:3;Y=X.*X.*X+10*X.*X+1;e=0.0001;e_temp=1;x=-1;while(e_temp>e)    G=6*x+20;    p=(3*x*x+20*x)/(G);    x_temp=x;    x=x-p;    e_temp=x-x_temp;endminY=x*x-3*x+1minX=xplot(X,Y);

图：

结果：

minY =

   0.9806

minX =

0.0065

迭代次数：2

 

同样是通过Taylor展开得到的方向，最速下降法取其一次部分，假设函数为线性。而Newton法取二次，假设函数维二次，会有更快的收敛速度，不过也有上述的种种问题。

对于Newton的缺点，改进的有相应的阻尼Newton等等方法。