C语言学习之补码的深刻理解

    学到C语言的本质之补码时（http://learn.akae.cn/media/ch14s03.html）。发现不是很理解，特别是这段描述。

如果8个bit采用2'sComplement表示法，

负数的取值范围是从10000000到11111111（-128~-1），

正数是从00000000到01111111（0~127）。

      于是搜索了不少资料，总算理清了这一点。

首先，原码，反码，补码是一个真值用二进制表示的的不同方式。将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。无符号数没有原码、反码和补码一说。只有带符号数才存在不同的编码方式。

    至于为什么计算机最终选择补码来表示呢？具体看这里

http://sharecourse.upln.cn/courses/c_809_04/theory/module_2/pdf/whybm.pdf

    从原码转成补码也看上面的文章。

    这里有一点很重要的，就是从补码怎么转为原码或者真值呢？

    其实这个过程跟从原码转成补码是一样的。这一点很多学习资料都没提到。我是在

http://wenwen.soso.com/z/q110390792.htm这里看到的。

        

         具备了以上知识后，现在来解释一下补码的范围是怎么回事。

1 先从简单的开始，正数的范围，明显补码的二进制范围是从00000000到01111111。那么取几个特殊的值来看看，

0000,0000

0111,1111

这两个二进制的数是谁的补码呢？

也就是（0000,0000）的真值是？

（0111,1111）的真值是？

由于正数的补码跟真值是一样的，

所以（0000,0000）的真值是0，（0111,1111）的真值是127。

由此可见，用补码来表示正数，取值范围是0-127。

 

2 负数的范围，明显补码的二进制范围是从10000000到11111111。再取几个特殊值来看看，

那么10000000的真值是？

10000001的真值是？

11111111的真值是？

上面有说过如何从补码转为真值。

计算后，发现

10000000的真值是（-1000,0000）=-128

10000001的真值是（-111,1111）=-127

11111111的真值是（-000,0001）=-1。

所以用补码表示负数，范围是-128到-1。

 

这里，特地，演算一下。（采取先不管符号位的做法）

10000001（这是补码）

取反，得 （111,1110）

+1，得（111,1111）

加上符号位（-111,1111）即-127

 

（1000，0000）（这是补码）

取反，得（111,1111）

+1，得（1000,0000）

加上符号位，得 –1000,0000，即是-128。

 

 

那么我们验证一下真值-127的补码形式是不是（1000,0001）。

-127这是真值，即（-111,1111）

转为原码（1111,1111）

取反，转为反码（1000,0000）（符号位不变）

+1，（1000，0001）（符号位不变）

 

再验证一下真值-128的补码形式是不是（1000，0000）。

-128(-1000,0000)显然原码表示不了。

只能这么理解法，

先不管符号位，得（1000,0000）。

取反，得（0111,1111）

+1,得（1000,0000），7位溢出了，去掉进位得（000,0000）

补上符号位得（1000,0000）。

其实，我们只要记住真值-128的补码形式是（1000，0000）就好了。

 

其实，求反加1的方法是有缺陷的，并不是补码的定义，了解了补码的定义，才可以真正了解补码与真值的转换。

 

就是利用同余。http://sharecourse.upln.cn/courses/c_809_04/theory/module_2/pdf/whybm.pdf

在数学中，用“同余”概念描述上述关系，即两整数 A、B 用同一个正整数 M (M 称为

模)去除而余数相等，则称 A、B 对 M 同余，记作：

A＝B (MOD M)

具有同余关系的两个数为互补关系，其中一个称为另一个的补码。当 M＝12 时，－

5 和＋7，－4 和＋8，－3 和＋9 就是同余的，它们互为补码。

从同余的概念和上述时钟的例子，不难得出结论：对于某一确定的模，用某数减去

小于模的另一个数，总可以用加上“模减去该数绝对值的差”来代替。因此，在有

模运算中，减法就可以化作加法来做。

 

可以发现，有个技巧，互为补码的两个数加起来刚好等于模。

 

对于8位得二进制数，模等于2的8次方=256。

真值-127的补码是谁呢？

-127等价于 加上模减去127的差，即加上 129（1000,0001）。

因此-127与129（1000，0001）互补。

即真值-127的补码为（1000,0001），这个补码看起来是正数，其实表示的是负数。

 

现在再来看看真值-128的补码形式是不是（1000，0000）。

显然，-128等价于加上 256-128=128，即（1000,0000）。

 

触类旁通，真值-126的补码是？

-126等价于加上256-126=130，即（1000，0010）。

 

上面是，由真值求补码。

那么怎么由补码求真值呢？

 

比如补码（1000，0010）的真值是？

显然（1000，0010）=130，符号位是1，表示的真值是负数，

130-256=-126。

 

补码（1000，0000）的真值是？

显然，（1000，0000）=128，符号位是1，表示的真值是负数，

128-256=-128。

夜已深，先了解到这一步，以后有更深入的理解再来总结更新。