词法分析(4)---NFA与DFA的转化

1. 子集构造(Subset Construction)
这是一个转换NFA到DFA的算法。我们知道NFA和DFA的区别最主要的就是一个状态和一个input symbol是否能够确定一个状态的问题，对于NFA，它将确定一个组状态，而DFA将确定一个状态，因此，我们有一个很好的办法就是把NFA的状态集对应每个DFA的状态，这就是subset construction的思想，不过这只是大概泛泛而论，我们需要更加明确的认识

1) NFA在任何一个input symbol下，映射的状态集(通过move函数，这个集合通常用T字母表示)应该被知道
2) 必须保证1)中状态集都对应了DFA中的一个状态

具体算法：
Input : 一个NFA N
Output : 接受相同语言的DFA D
Method : 为D构架一个transition table(转换表) Dtran，每个DFA的状态是一个NFA的状态集合(这里一定要注意前面说过的1)2)两点)。我们定义一些操作：

s 表示NFA的状态，T 表示NFA的状态集合，a表示一个input symbol
ε-transition(ε转换)就是说input symbol为ε时的transition(转换) 操作(operation) 描述(description) ε-closure(s) 从NFA的状态s出发，只通过ε-transition到达的NFA的状态集合 ε-closure(T) NFA的集合T中的状态p，只通过ε-transition到达的NFA的状态集合，再求这些集合的交集。用数学表达就是 {p|p 属于 ε-closure(t) , t属于T}
move(T,a) NFA的集合，这个集合在input symbol为a，状态为T中任意状态情况下，通过一个转换得到的集合 注意一下，所有的操作都是针对NFA的状态或者状态集合，得到的时NFA的状态集合，或者说是DFA看为一个状态

Subset Construction
初始Dstates，它仅仅含有状态(D的状态)ε-closure(s0)，并且状态未被标记，s0表示开始状态，注意，Dstates放的是D的状态
while ( Dstates 有未标记的状态 T ) { // T是D中的一个状态，也是N中一个状态集
    标记 T;
    for ( input symbol a ){                  // 遍历所有的input symbol
       U = ε-closure(move(T, a));        // move为NFA的move函数
       if ( U 不在 Dstates 中 )
          把U作为尚未标记的状态加入Dstates;
       Dtran[T, a] = U
    }
}

注意，状态s，ε-closure(s)一定包含s
我们先来熟悉上面的操作operation，再来看上面的算法


ε-closure(0) = {0, 1, 2, 4, 7}   // 从0状态出发的，input symbol为ε的所有状态的集合
ε-closure(3) = {1, 2, 3, 4, 6, 7}
ε-closure(8) = {8}
ε-closure( {3, 8} ) = ε-closure(3) U ε-closure(8) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
move(0,a) = 空
move(7,a) = {8}
move(8,b) = {9}
move( {0, 1, 2, 4, 7}, a) = move(0,a) U move(1,a) U move(2,a) U move(4,a) U move(7,a) = {3, 8}

现在可以回去理解一下算法了。

这里再说说求ε-closure(T)的算法：

把T的所有状态压入stack(栈);
ε-closure(T)的初始值为 T 中的所有元素 ;  // 也就是一定包含他们本身
while( 栈非空 ) {
    弹出栈顶元素 t ;
    for( 每个属于 move(t, ε) 的状态 u ){
       if( u 不在 ε-closure(T) 中 ){
          u 加入 ε-closure(T);
          把 u 入栈;
       }
    }
}

下面对上图如何使用Set Construction算法来构建DFA做一个详细的描述：
1. 初始化Dstates 把集合 ε-closure(s0) = {0, 1, 2, 4, 7}作为第一个状态，设此状态为 A
2. 现在转化，input symbol {a, b}，因此，求：
ε-closure(move(A, a));
ε-closure(move(A, b));
这里会得到2个状态
ε-closure(move(A, a)) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8},设其为 B
ε-closure(move(A, b)) = {1, 2, 4, 5, 6, 7}, 设其为C
B，C放入Dstates
改写 Dtrans

最终得到的 Dtrans 为：
A = {0, 1, 2, 4, 7}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}
D = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}


因此，NFA转化成为DFA：