杭电OJ 1098：Ignatius's puzzle

这个题目的难点不是编程，而是数学。

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：

（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)

（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))

（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡8(mod 13))

（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有 k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)。

C++代码：

#include<stdio.h>int main(){int k,i,flag;while(scanf("%d",&k)!=-1){for(i=1;i<66;i++){if(i*k%13==8&&i*k%5==2){flag=i;break;}elseflag=0;}if(flag)printf("%d\n",flag);elseprintf("no\n");}return 0;}