【并查集】
来源:互联网 发布:自定义动态壁纸软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 09:30
并查集(Union-find Sets)是一种非常精巧而实用的数据结构,它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的 Kruskal 算法和求最近公共祖先(Least Common Ancestors, LCA)等。
使用并查集时,首先会存在一组不相交的动态集合
每个集合可能包含一个或多个元素,并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的,具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是,对于给定的元素,可以很快的找到这个元素所在的集合(的代表),以及合并两个元素所在的集合,而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。
并查集的基本操作有三个:
- makeSet(s):建立一个新的并查集,其中包含 s 个单元素集合。
- unionSet(x, y):把元素 x 和元素 y 所在的集合合并,要求 x 和 y 所在的集合不相交,如果相交则不合并。
- find(x):找到元素 x 所在的集合的代表,该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合,只要将它们各自的代表比较一下就可以了。
并查集的实现原理也比较简单,就是使用树来表示集合,树的每个节点就表示集合中的一个元素,树根对应的元素就是该集合的代表,如图 1 所示。
图 1 并查集的树表示
图中有两棵树,分别对应两个集合,其中第一个集合为
树的节点表示集合中的元素,指针表示指向父节点的指针,根节点的指针指向自己,表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找,最终就可以找到该树的根节点,即该集合的代表元素。
现在,应该可以很容易的写出 makeSet 和 find 的代码了,假设使用一个足够长的数组来存储树节点(很类似之前讲到的静态链表),那么 makeSet 要做的就是构造出如图 2 的森林,其中每个元素都是一个单元素集合,即父节点是其自身:
图 2 构造并查集初始化
相应的代码如下所示,时间复杂度是
uset数组就是保存的父节点;
const int MAXSIZE = 500;int uset[MAXSIZE]; void makeSet(int size) { for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = i;}
接下来,就是 find 操作了,如果每次都沿着父节点向上查找,那时间复杂度就是树的高度,完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。
路径压缩,就是在每次查找时,令查找路径上的每个节点都直接指向根节点,如图 3 所示。
图 3 路径压缩
我准备了两个版本的 find 操作实现,分别是递归版和非递归版,不过两个版本目前并没有发现有什么明显的效率差距,所以具体使用哪个完全凭个人喜好了。
int find(int x) { if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]); return uset[x];}int find(int x) { int p = x, t; while (uset[p] != p) p = uset[p]; while (x != p) { t = uset[x]; uset[x] = p; x = t; } return x;}
最后是合并操作 unionSet,并查集的合并也非常简单,就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根,如图 4 所示。
图 4 并查集的合并
这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界,在合并时,总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说,就是总是将比较矮的树作为子树,添加到较高的树中。为了保存秩,需要额外使用一个与 uset 同长度的数组,并将所有元素都初始化为 0。
void unionSet(int x,int y) { if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return; if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x; else { uset[x] = y; if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++; }}
下面是按秩合并的并查集的完整代码,这里只包含了递归的 find 操作。
const int MAXSIZE = 500;int uset[MAXSIZE];int rank[MAXSIZE]; void makeSet(int size) { for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = i; for(int i = 0;i < size;i++) rank[i] = 0;}int find(int x) { if (x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]); return uset[x];}void unionSet(int x,int y) { if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return; if (rank[x] > rank[y]) uset[y] = x; else { uset[x] = y; if (rank[x] == rank[y]) rank[y]++; }}
除了按秩合并,并查集还有一种常见的策略,就是按集合中包含的元素个数(或者说树中的节点数)合并,将包含节点较少的树根,指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似,同样可以提升并查集的运行速度,而且省去了额外的 rank 数组。
这样的并查集具有一个略微不同的定义,即若 uset 的值是正数,则表示该元素的父节点(的索引);若是负数,则表示该元素是所在集合的代表(即树根),而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示,同样包含递归和非递归的 find 操作:
const int MAXSIZE = 500;int uset[MAXSIZE]; void makeSet(int size) { for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = -1;}int find(int x) { if (uset[x] < 0) return x; uset[x] = find(uset[x]); return uset[x];}int find(int x) { int p = x, t; while (uset[p] >= 0) p = uset[p]; while (x != p) { t = uset[x]; uset[x] = p; x = t; } return x;}void unionSet(int x,int y) { if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return; if (uset[x] < uset[y]) { uset[x] += uset[y]; uset[y] = x; }else { uset[y] += uset[x]; uset[x] = y; }}
如果要获取某个元素 x 所在集合包含的元素个数,可以使用 -uset[find(x)] 得到。
并查集的空间复杂度是
完整的代码:
#include <stdio.h>const int MAXN = 100; /*结点数目上线*/int pa[MAXN]; /*p[x]表示x的父节点*/int rank[MAXN]; /*rank[x]是x的高度的一个上界*/void make_set(int x){/*创建一个单元集*/ pa[x] = x; rank[x] = 0;}int find_set(int x){/*带路径压缩的查找*/ if(x != pa[x]) pa[x] = find_set(p[x]); return pa[x];}/*按秩合并x,y所在的集合*/void union_set(int x, int y){ x = find_set(x); y = find_set(y); if(rank[x] > rank[y])/*让rank比较高的作为父结点*/ pa[y] = x; else { pa[x] = y; if(rank[x] == rank[y]) rank[y]++; }}
- HDU3938 并查集 并查集
- 并查集(集并查)
- HDU1232 并查集<并>
- 并查集
- 数据结构-并查集
- 并查集
- 并查集!
- 并查集
- 并查集
- 并查集
- 并查集
- 并查集总结
- 并查集学习
- 并查集
- 并查集
- 并查集
- 所谓并查集
- 并查集
- Add or remove tab in tabs widget of JQuery
- Linux终端打开后没有内容显示的解决办法
- 导航控制器下UIViewController之间的传值 ------ 代理(delegate)传值 单例传值 Target-Action传值 属性传值 block传值 通知传值
- CentOS(Linux)安装chrome浏览器
- 背景渐变
- 【并查集】
- java提高篇(二五)-----HashTable
- 批处理中延迟变量扩展与预处理
- 第五周作业-字体设置
- 布局管理器 java
- CentOS 6.2编译安装Apache2.4.1+MySQL5.5.21+PHP5.3.10
- 在Struts2中使用ValueStack、ActionContext、ServletContext、request、session等
- Java字节码
- listview如果添加的有Headview和Footview,onItemClick数值异常