线性代数(五十二) ： 对角化与惯性律

本节介绍将二次型转化为对角矩阵.

1 对角化

对于二次型：

进行变换：

使得q在新变量z下的矩阵表示是对角矩阵.即：

假设q的矩阵表示中对角线的元素不全为0.假设h11不为零.将全体包含y1的项归类:

由于H是对称矩阵.因此q可以写为：

令:

则：

其中：

如果q的矩阵表示中对角线的元素都为零.但非对角线元素不全为零.不妨设：

则可以引入新变量:

在新变量的矩阵表示中对角线元素不全为零.

如果q的矩阵表示中全体元素都为零.则：

定理无需证明.

对变量个数n进行归纳.由(13)式可知,如果含n-1个变量的二次型q2能化为(11)式的形式.

则q也能.由(12)式可知：如果y2,...,yn左乘以某个可逆矩阵等于z2,...,zn,则必存在可逆矩阵使得全体y左乘以该矩阵等于全体z.

2 惯性律

对于上边引入新变量对角化q的方式通常不止一种.但无论哪种方式.上式中对角线元素di为正负和零的数目都不变.

这一性质常备称为惯性律.

为了证明该定理需要一条引理:

3 正定与负定

以P+,P-,P0 分别表示(11)式中的正负项和零的数目.

S是R^n的子空间.称q在S上正定,如果：

类似的定义负定：

4 引理 

R^n的使q正定的最大子空间的维数是P+：

类似的有：

引理二的证明省略.

引理二表明P+和P-由二次型q本身确定.与(11)式中的变量的选取无关.由于：

因此证明了惯性律.