C++高精度运算模板

来源：互联网发布：网络教育本科统考免考编辑：程序博客网时间：2024/05/22 00:46

更新：2015-02-09

友情提醒：后面我开发了另一种版本的高精度类，鲁棒性会更好。

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更新：2014-05-05 中午

功能：正整数的加、减、乘、除、取余、大小关系运算。

概述：本文分三个模块——模板、介绍、例题。在“模板”贴出高精度模板的完整不含注释源代码，在“介绍”分节讲解各个功能的原理及要点。在“例题”举出5道UVA的高精度题作为应用举例。

感谢：刘汝佳的《算法竞赛入门经典》，模板的源框架摘自xiaobaibuhei，除法和取余运算借鉴自误@解。当然，集大成和功能的扩展、代码精简，至少有五成还是自己的功劳。

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模板：建议计算时把较大的数放在左边对较小的数做运算，比如“999+1”而不是"1+999"，因为我的模板针对该类型进行了很大的效率优化。另外模板可能因为更新的缘故，跟后面的解说会有细微出入。

#include <iostream>#include <string>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int maxn = 1000;struct bign{    int d[maxn], len;void clean() { while(len > 1 && !d[len-1]) len--; }    bign() { memset(d, 0, sizeof(d)); len = 1; }    bign(int num) { *this = num; } bign(char* num) { *this = num; }    bign operator = (const char* num){        memset(d, 0, sizeof(d)); len = strlen(num);        for(int i = 0; i < len; i++) d[i] = num[len-1-i] - '0';        clean();return *this;    }    bign operator = (int num){        char s[20]; sprintf(s, "%d", num);        *this = s;return *this;    }    bign operator + (const bign& b){        bign c = *this; int i;        for (i = 0; i < b.len; i++){        c.d[i] += b.d[i];        if (c.d[i] > 9) c.d[i]%=10, c.d[i+1]++;}while (c.d[i] > 9) c.d[i++]%=10, c.d[i]++;c.len = max(len, b.len);if (c.d[i] && c.len <= i) c.len = i+1;        return c;    }    bign operator - (const bign& b){        bign c = *this; int i;        for (i = 0; i < b.len; i++){        c.d[i] -= b.d[i];        if (c.d[i] < 0) c.d[i]+=10, c.d[i+1]--;}while (c.d[i] < 0) c.d[i++]+=10, c.d[i]--;c.clean();return c;    }    bign operator * (const bign& b)const{        int i, j; bign c; c.len = len + b.len;         for(j = 0; j < b.len; j++) for(i = 0; i < len; i++) c.d[i+j] += d[i] * b.d[j];        for(i = 0; i < c.len-1; i++)            c.d[i+1] += c.d[i]/10, c.d[i] %= 10;        c.clean();return c;    }    bign operator / (const bign& b){    int i, j;bign c = *this, a = 0;    for (i = len - 1; i >= 0; i--)    {    a = a*10 + d[i];    for (j = 0; j < 10; j++) if (a < b*(j+1)) break;    c.d[i] = j;    a = a - b*j;    }    c.clean();    return c;    }    bign operator % (const bign& b){    int i, j;bign a = 0;    for (i = len - 1; i >= 0; i--)    {    a = a*10 + d[i];    for (j = 0; j < 10; j++) if (a < b*(j+1)) break;    a = a - b*j;    }    return a;    }bign operator += (const bign& b){        *this = *this + b;        return *this;    }    bool operator <(const bign& b) const{        if(len != b.len) return len < b.len;        for(int i = len-1; i >= 0; i--)            if(d[i] != b.d[i]) return d[i] < b.d[i];        return false;    }    bool operator >(const bign& b) const{return b < *this;}    bool operator<=(const bign& b) const{return !(b < *this);}    bool operator>=(const bign& b) const{return !(*this < b);}    bool operator!=(const bign& b) const{return b < *this || *this < b;}    bool operator==(const bign& b) const{return !(b < *this) && !(b > *this);}    string str() const{        char s[maxn]={};        for(int i = 0; i < len; i++) s[len-1-i] = d[i]+'0';        return s;    }};istream& operator >> (istream& in, bign& x){    string s;    in >> s;    x = s.c_str();    return in;}ostream& operator << (ostream& out, const bign& x){    out << x.str();    return out;}

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介绍-1：基本模板

说明：注释出现的“[int]”形式，代表这是int类型的变量名或者一个int值。其它[bign]、[char*]同理。

#include <iostream> // 要用cin、cout #include <string>   // 要用string类 #include <cstring>  // 要用strlen #include <cstdio>   // 要用sprintf using namespace std;const int maxn = 2000;// 大整数的最高位数限制 struct bign{    int d[maxn], len;// 去掉大数的前导0 void clean() { while(len > 1 && !d[len-1]) len--; }// 初始化：默认初始化为值0     bign() { memset(d, 0, sizeof(d)); len = 1; }        // 初始化：可以用“bign [bign] = [int];”或“bign [bign]([int]);”    bign(int num) { *this = num; }        // 初始化：可以用“bign [bign] = [char*];”或“bign [bign](char*);”    bign(char* num) { *this = num; }        // 赋值：可以用“[bign] = [char*];”     bign operator = (const char* num){        len = strlen(num);        for(int i = 0; i < len; i++) d[i] = num[len-1-i] - '0';        clean();        return *this;    }        // 赋值：可以用“[bign] = [int];”     bign operator = (int num){        char s[maxn];        sprintf(s, "%d", num);        *this = s;        return *this;    }// 将int数组存储的值转换为高精度的字符串形式     string str() const{        string res;        for(int i = 0; i < len; i++) res = char(d[i]+'0') + res;        return res;    }};// 可以用“cin >> [bign];”的方式输入 istream& operator >> (istream& in, bign& x){    string s;    in >> s;    x = s.c_str();    return in;}// 可以用“cout << [bign];”的方式输出 ostream& operator << (ostream& out, const bign& x){    out << x.str();    return out;}

不论做哪类高精度运算最好都完整抄录该部分代码，可以让bign类型用起来跟int一样方便。
四个头文件包含了模板中需要用到的数据类型和函数。
常量maxn代表会出现的最大整数位数，这个值定太小会出错(见下文的“例题-2”，有个乘法中的陷阱)，但也不要太大浪费过多内存。
clean在后续的减法、乘法、除法里都要用到。

花絮：1、读者有没发现CSDN的代码高亮有个bug——#include右边写的注释没有变绿色。2、4月底又看了博客，突然明白“bign”是什么意思了，原来是“big-int”啊！难怪我一直找不到bign这个单词。

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介绍-2：扩展bign的运算功能

该部分代码包括上面所有重载的运算符：+、-、*、/、%、+=。

注意第加法运算里调用了max 函数，UVA 的 OJ 可以直接使用，其它OJ 未必。
模板的减法要注意不能用小数减大数，要算绝对值，可以用(a<b?b-a:a-b)。
虽然重载的运算符两边数据类型都是bign，但因为自动强制转换，所以用“[bign]*[int]”也不会错。（这在应用中带来了相当大的便利）
这里的除法与C语言中两个整数相除的效果相同，会舍尾取整。且除法里其实包含取余运算了，最后的a就是。
末尾写了个重载“+=”的代码，主要是方便bign类型的使用。读者可以根据自己喜好，①把“*=”等的重载代码写上方便使用，②或者在使用bign类型中不要用这类运算符。

最后说一下效率问题，因为我的代码可以进行大数对大数的运算，如大数除大数、大数对大数取余，所以在大数除int、大数对int取余时，效率不及专门功能的函数，这里牺牲效率增加通用性。

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介绍-3：扩展bign的比较功能

只要定义了“<”符号，即可用它定义其他所有比较运算符。实际题目中根据需要抄录小于和其它需要的运算符，不必全部写入(虽然到了高级运算，如取余，就环环相扣，很难删除某一部分了)，在“介绍-2”中的运算符也是一样，这样在ACM比赛中能加快解题速度。

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例题-1：UVA 424 - Integer Inquiry

题意是求一系列大数的累加和。

我就不复制模板浪费版面了，下面的所有例题也是一样。解题代码：

int main(){bign s = 0, t;while (cin >> t){if (t.len == 1 && !t.d[0]) break;s = s + t;}cout << s << endl;return 0;}

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例题-2：UVA 10106 - Product

大数乘法。

注意，虽然单个大数的范围是 250 位以内，但相乘后却会超过250， maxn 至少要定义两个250，即500。笔者曾悲剧的RE了4次才发觉。

int main(){bign a, b;while (cin >> a >> b) cout << a*b << endl;return 0;}

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例题-3：UVA 465 - Overflow

大数加法和乘法，判断数值是否超过int。

注意格式要求：每组答案输出前，要输出原输入表达式(保留前导0)，如果 cin 流直接到 bign，则前导 0 会被过滤掉。故要用两个 string 类型的 a,b 作中介。

int main(){bign x, y;string a, t, b;const bign L = 0x7fffffff;while (cin >> a >> t >> b){cout << a << ' ' + t + ' ' << b << endl;        x = a.c_str(); y = b.c_str();if (x > L) puts("first number too big");if (y > L) puts("second number too big");if (t == "+" && x+y > L) puts("result too big");if (t == "*" && x*y > L) puts("result too big");}return 0;}

这题也可以不用模板解，见：Norcy。注：浮点数方法虽然精简，但通用性不及高精度。实际使用要看题目给出的数值范围。最后，说一个未严格验证，另我惊讶的发现：高精度的运算效率比浮点数高，前者运行 0.012m，后者 0.019m。

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例题-4：UVA 748 - Exponentiation

小数的指数高精度运算。

如果为小数高精度也写一个模板，在比赛中会浪费太多时间，而且我暂时也找不到好的实现思路和模板。一般可以仔细观察这类题目，利用整数高精度来完成特殊的小数高精度运算。
例如这题可以理解为整数位数为 5 的连乘积，最后统一做一个放缩，去掉小数尾部的 0，具体实现方法见代码。

int main(){int n;char str[10];while (scanf("%s%d", &str, &n) != EOF){int w = 10000, val = 0, i = -1, j, k;while (i++, w) // 要用特殊的方法录入数值val，同时记录小数位置k{if (str[i] != '.') val += w*(str[i]-'0'), w /= 10;else k = 5 - i;}bign a = val, p = 1;  // 初始化for (i = 0; i < n; i++) p = p * a; // 直接连乘，指数不大没必要用逐次平方法for (i = p.len - 1; i > n*k; i--) putchar(p.d[i] + '0'); // 输出个位以上的值if (p.len > n*k) putchar(p.d[n*k] + '0'); // 整数部分不为0，要输出个位的值putchar('.'); // 输出小数点for (i = -1; !p.d[i+1]; i++); // 记录小数部分最末一个非0值的位置为ifor (j = n*k-1; j > i; j--) // 输出小数{if (j > p.len-1) putchar('0'); // 小数部分的前导0else putchar(p.d[j] + '0');}putchar('\n');}return 0;}

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例题-5：UVA 10494 - If We Were a Child Again

大数除法与取余。

int main(){bign a, b;string t;while (cin >> a >> t >> b){if (t == "/") cout << a/b << endl;else cout << a%b << endl;}return 0;}

不用模板的解法，见误@解。其实，读者从这些不用模板的代码可以看出，其算法本质与使用模板都是一样的，只要掌握高精度的运算方法，万变不离其宗。现场赛中，如果熟悉高精度算法原理，不用模板直接求解当然速度最快。但网络赛或平时练题，还是模板一贴，解起来轻松加愉快。二者各有优势。

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