动态规划求解01背包相关的基本问题

背包问题是经典问题，网上已经提供了很多优秀的解法，这里摘录动态规则的方法，同时顺便把背包相关的变形问题也一些阐述。

问题：

1. 经典背包问题：给定一个载重量为m，n个物品，其重量为w_i，价值为v_i，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大。

2. 变形：要求装入的物品重量最大？（问题很简单，但请先别BS我）

3. 变形：要求装入的物品重量刚好等于背包的承重？换一种说法就是：N个数里挑出任意个数，使这些数的和等于某个值M。

4. 变形：N个数里挑出任意个数，使这些数的和最接近M，即和与M的差的绝对值最小。

问题1请参考：http://blog.csdn.net/livelylittlefish/article/details/2186206#

核心思想如下：

在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

                      

循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中

(n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

若w[i]>j，第i个物品不装入背包

否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）

问题2：很简单。可以将这里的重量看成是问题1的价值。之所以写出来是为了方便分析问题4.

问题3：采用类似于问题1的方法，对N个数（无序），以N[i]表示第i个数。构造一个（N＋1）行（M＋1）列的矩阵（＋1行与列是为了下标好计算）。

关键点：对于某个M＝j。给定序列N［1～i］，组成和为 j 的子集U中若包含N[i]，则N［1～i-1］肯定能够组成和为j-N[i]。

如图所示，为了简单起见，令N个数正好是1到N递增（不需要是有序的，仅为举例方便），令M＝6。

矩阵的值V［i］［j］有三种表示方法：

1. Y。表示N［i］ =  j。这样，由N［1～i］个数，和为j的一种挑法就是只挑出N[i]本身。

2. X。表示由N［1～i］个数构成和为j的集合中，任一集合都没有N[i] 。

3. 矩阵的另一个地址，表示N[i] 可以构成和为j的集合中的一个元素，而其它的元素需要到矩阵的另一个地址中继续寻找。

算法描述如下：

1. 若当前N［i］＝j ，则V［i］［j］标记为 “Y”；

2. 判断N［i］是否属于加和集合。需要看N［1～i-1］是否可以构成 j-N[i]。判断的方法就是对第j-N[i]列，从行号为i-1开始直到0，看是否有值不为 “X”。查找的结果有两种可能：

a. 没有，即全为X。表示N［i］不可能属于加和集合中的一分子，故把V［i］［j］标记为 “X”；

b. 有。记录转转地址。

当遍历结束后。采用回溯可以得到所有构成的路径。这时，标记为“Y”的矩阵值即是路径回溯的终点。

N个数\M

0

1

2

3

4

5

6

0

Y

X

X

X

X

X

X

1

X

Y

X

X

X

X

X

2

X

X

Y

（1，1）

X

X

X

3

X

X

X

Y

（1，1）

（2，2）

（2，3）

4

X

X

X

X

Y

（1，1）

（2，2）

5

X

X

X

X

X

Y

（1，1）

举例分析：

初始化第0行与第0列。

看v[1][1]，由于有N［1］=1，故标记为Y。

看v[2][3]，考虑N[2]=2是否是构成和为3的一个元素，则需要看由元素集合N[1~i-1]，是否可以构成j-N[i]，即｛1｝是否可以构成和为1。从查找v[1][1]找到v[0][1]，发现v[1][1]标记为Y，表示可以构成，所以v[2][3]记录地址｛1，1｝。

看v[3][6]，同理，若N[3]=3能构成和为6的一个元素的话，就要求N[1~2]能构成和为3，查找发现v[2][3]的值不是“X”，表示上述假设成立，因此记录（2，3）.

当遍历结束后，回溯寻找和为M的方法，这里M＝6.

首先发现v[5][6]，确定5，跳转到v[1][1]，为Y，结束，集合为｛1，5｝. 同列往上继续走到v[0][1]，为X，结束。

往上走到v[4][6], 确定4，跳转到v[2][2]，为Y，结束，集合为｛2，4｝. 同列往上继续走到v[1][2]与v[0][2]，皆为X，结束。

往上走到v[3][6]，确定3，跳转到v[2][3]，确定2，跳转到v[1][1]，确定1，集合为｛1，2，3｝. 同列往上继续走到v[0][1]，为X; 回退，发现v[1][3]也为X，结束。

往上走到v[1~2][6]，都没有构成集合，结束。

这里为什么在找到一条路径后，还需要继续在同列往上走呢？这是为把所有组合都成找到，请自行分析M＝7的情况，如果不往上走，将只能找到｛2，5｝与｛3，4｝，而少一组｛1，2，4｝.而最后一组｛1，2｝又构成了3.

问题4：

运用问题2或3的解法可解。运用问题2来解比较快：假设背包最大承重为M，解一次问题2，即可得到加和小于M，且最接近M的的值，设为S。由于求的是绝对值最小，所以有可能可以找到加和大于M的解，而这个解必然属于背包大小为M＋1到M＋（M－S）－1 范围内，问题2的解。举例如下：假设M＝6，求得S＝3，目前的绝对值差为3，而如果正确的解是S>M的情况，那么该解必然属于背包大小为7到8当中的最优解。即，最坏情况下，给一个大小为8的包，能装满，则这时和的绝对值差为2，比原来优，而背包给的再大已经没有意义。