2-sat 问题学习小记 Poj 3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick (可行性判定)

2014-08-05更新

学习链接：

伍昱 由对称性解2-sat问题（ppt）

【研究总结】2-sat问题 - JarjingX - 博客频道 - CSDN.NET

赵爽 2-sat解法浅析（pdf）

2-SAT总结 - kuangbin - 博客园

2-sat 相关问题总结 - BootStar - 博客频道 - CSDN.NET

模板和代码均参考了kuangbin大神的，他求强连通分量的方法用得是Kosaraju算法，这里有个对比分析：

6.3.1 强连通分支算法--Kosaraju算法、Tarjan算法和Gabow算法 - lwee - 博客园

最近找了一个基于Tarjan的模板，就个人而言还是Tarjan比较熟练。

图论__2-SAT - D_Double's Journey

2014-08-31 更新

简单概述一下2-sat：

有n组元素，每组两个，从中选出n个，每组选且只选一个。
这2n个元素中有些元素之间有矛盾关系，要求选出的n个元素中，任意两个之间都不存在矛盾。
问是否存在满足条件的选取方案。这就是2-sat问题。
解决方法如下，例如a,b一组，c,d一组，a,c有矛盾，那么选a则不能选c，不选c则必须选d。
所以选a就必须选d。同理选c就必须选b。我们引两条边，a->d, c->b。对于所有的矛盾都用类似的方式加边。
这样只要从x点可以走到y点，那么选x点就必须选y点。然后对全图求强连通分支。
在一个强连通分支中，选了一个点，则必须选强连通分支中的所有点。
如果有某两个点属于同一组，且属于同一个强连通分支，则必然无解，否则有解。

常见模型：

模型一：两者（A，B）不能同时取
　　那么选择了A就只能选择B’，选择了B就只能选择A’
　　连边A→B’，B→A’


模型二：两者（A，B）不能同时不取
　　那么选择了A’就只能选择B，选择了B’就只能选择A
　　连边A’→B，B’→A


模型三：两者（A，B）要么都取，要么都不取
　　那么选择了A，就只能选择B，选择了B就只能选择A，选择了A’就只能选择B’，选择了B’就只能选择A’
　　连边A→B，B→A，A’→B’，B’→A’


模型四：两者（A，A’）必取A
　　连边A’→A

本题算是2-sat问题的入门题，但稍有难度，建议练习一两道别的题再来做这道。

本题只要求判断可行性，不要求给出方案。

题意：平面上，一个圆，圆的边上按顺时针放着n个点。现在要连m条边，比如a，b，那么a到b可以从圆的内部连接，也可以从圆的外部连接。给你的信息中，每个点最多只会连接的一条边。问能不能连接这m条边，使这些边都不相交。举个例子：比如1 5连边，2，6连边，由于点是顺序排列的，一画图就可以发现，这两条边必须一个从圆外面连，一个从内部连，否则就会相交。如果再加入3 7这条边，那么就必须相交了。

思路：可以转化成标准的2-sta问题：

1：每个边看成2个点：分别表示在内部连接和在外部连接，只能选择一个。计作点i和点i'

2：如果两条边i和j必须一个画在内部，一个画在外部那么连边：
i->j’, 表示i画内部的话，j只能画外部，即j’
j->i’，同理
i’->j，同理
j’->i，同理

先求原图的强连通分量，并缩点，判断是否存在(i,i')属于同一组，若存在，则不可能，若不存在则可能。

#include <queue>#include <vector>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int N=1005;bool visit[N];queue<int>q1,q2;vector<vector<int> >adj; //原图    //中间一定要加空格把两个'>'隔开vector<vector<int> >radj;//逆图vector<vector<int> >dag; //缩点后的逆向DAG图int n,cnt;int id[N],order[N],ind[N];//强连通分量,访问顺序,入度struct Node{    int s,t;}node[N];void dfs (int u){visit[u]=true;int len=adj[u].size();for (int i=0;i<len;i++)if (visit[adj[u][i]]==false)dfs(adj[u][i]);order[cnt++]=u;}void rdfs (int u){visit[u]=true;id[u]=cnt;int len=radj[u].size();for (int i=0;i<len;i++)if (visit[radj[u][i]]==false)rdfs(radj[u][i]);}void Kosaraju () //求强连通分量并缩点{int i;memset(visit,false,sizeof(visit));for (cnt=0,i=0;i<2*n;i++)if (visit[i]==false)dfs(i);memset(id,0,sizeof(id));memset(visit,false,sizeof(visit));for (cnt=0,i=2*n-1;i>=0;i--)if (visit[order[i]]==false){cnt++;//这个一定要放前面来rdfs(order[i]);}}bool Solve (){for (int i=0;i<n;i++)if (id[2*i]==id[2*i+1])return false;return true;}int main (){int x,y,i;scanf("%*d%d",&n);for (i=0;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y);if (x>y) swap(x,y);node[i].s=x;node[i].t=y;}adj.assign(2*n,vector<int>());radj.assign(2*n,vector<int>());for (i=0;i<n;i++) for (int j=i+1;j<n;j++)if ((node[i].s<node[j].s && node[j].s<node[i].t && node[i].t<node[j].t) || (node[j].s<node[i].s && node[i].s<node[j].t && node[j].t<node[i].t)){adj[2*i].push_back(2*j+1);  //i-j'adj[2*j+1].push_back(2*i);  //j'-iadj[2*i+1].push_back(2*j);  //i'-jadj[2*j].push_back(2*i+1);  //j-i'radj[2*j+1].push_back(2*i);radj[2*i].push_back(2*j+1);radj[2*j].push_back(2*i+1);radj[2*i+1].push_back(2*j);}Kosaraju();if (Solve())printf("panda is telling the truth...\n");else printf("the evil panda is lying again\n");return 0;}

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))const int MAXN = 1010;  const int VN   = MAXN*2;  const int EN   = VN*VN/2;  int n,m;  int arr[VN][2];struct Edge{int v, next;};class Graph{public:int head[VN],size;Edge E[EN];void init(){size = 0;memset(head, -1, sizeof(head));}void Add (int u,int v){E[size].v = v;E[size].next = head[u];head[u] = size++;}}g;class Two_Sat{public:bool Check(const Graph&g, const int n){SCC(g,n);for (int i=0;i<n;i++)if (belong[i*2] == belong[i*2+1])return false;return true;}private:int top, bcnt, idx;int sta[VN],belong[VN];int dfn[VN],low[VN];bool inStack[VN];void targan (const Graph&g, const int u){int v;dfn[u] = low[u] = ++idx;sta[top++] = u;inStack[u] = true;for (int i=g.head[u]; i!=-1; i=g.E[i].next){v = g.E[i].v;if (dfn[v] < 0){targan(g, v);low[u] = min(low[u], low[v]);}else if(inStack[v])low[u] = min(low[u], dfn[v]);}if (dfn[u] == low[u]){++bcnt;do{v = sta[--top];inStack[v] = false;belong[v] = bcnt;}while(u != v);}}void SCC (const Graph&g, int n){top=bcnt=idx=0;memset(dfn,-1,sizeof(dfn));memset(low,0,sizeof(low));memset(belong,0,sizeof(belong));memset(inStack,false,sizeof(inStack));for (int i=0; i<2*n;i++)if (dfn[i] < 0) targan(g,i);}}sat;bool isCross (int* A, int *B){return  A[0]>B[0] && A[0]<B[1] && A[1]>B[1]|| A[1]>B[0] && A[1]<B[1] && A[0]<B[0];}int main (){int i;scanf("%d%d",&n,&m);g.init();for (i=0;i<m;i++){scanf("%d%d", &arr[i][0], &arr[i][1]);  if (arr[i][0] > arr[i][1])swap(arr[i][0], arr[i][1]);}for (i=0;i<n;i++)for (int j=i+1;j<n;j++)if (isCross(arr[i], arr[j])){int u=i*2;int v=j*2;g.Add(u,v^1);g.Add(u^1,v);g.Add(v,u^1);g.Add(v^1,u);}if (sat.Check(g,n))puts("panda is telling the truth...");else puts("the evil panda is lying again");return 0;}