hit_training_20130328

 

A  CF180A

构造

 

B  CF180B

发现性质，

简化  证明

C  CF180D

构造

完整讨论各种情况

D  CF180F

数组映射水题

 

E  CF191B

逆向思维

 

F  CF191C

Lca，区间修改查询

 

G  CF191E

二分+二分树状数组

使用数学语言描述问题

H  CF 243D

平行光，线段树

Lazy，处理线，

 

A - Defragmentation题意：

一些文件存储在磁盘上（占据了磁盘的一些块），现要求使用最少的操作步数将每个文件变成连续存储，而且空白块留到最后（保证至少有一个空白块）

solution：

抽象理解，如果第i块是空块，那么把合法块移到此处只需一次的代价

        如果第i块不是空块，

是合法块，则不需改变

不是，那么把合法块移到此处只需二次的代价，

至此，已发现合乎题意的解法，而且与最后文件在磁盘上的顺序无关

 

B - Divisibility Rules题意：

我们看能否整除时，发现一些法则，如2,4,5,只需看末几位能否整除，3,9,计算各位数字之和，11则是看奇偶位数字之和之差，6则转化为2,3处理，7则没有规律，

现求b进制下，a的整除法则属于哪种类型，2,3,6,11,7

分析：

初看可能没什么想法，可先放弃某些约束，将题目化简，此处先只考虑10进制的情况

怎么考虑呢？我们已知某些样例，可先分析其性质，然后看由此是否可反推（即，已有定理A，样例ai，由ai=>bi,抽象化得定义B，然后看B是否=>A,且B是否可编程）

此处2,4,8满足2法则，为什么3不行，

我们发现8看后3位，后三位全是0时....

很快2,10，1位 4,100,2位，8,1000,3,位——》

2法则<=>^i能被a整除

同理发现9,99,999,9999,99……9都能被3,9，整除

则 3法则<=>b^i-1能被a整除

注意此时的B，需要检验其正确性（A=>B B=>A）以及是否适合计算机处理

证明时可理论与样例相结合

设一个数为x1*b^y1+……xi*b^yi+……xn*b^yn;

对于2法则有b^k能被a整除

对于后k位，显然

数多于k位的，可写成p*b^k+q 显然

而且code只需看a，b的素因子种类即可判断

对于3法则

xi*b^yi=xi*(b^yi-1 +1)=xi*(b^yi-1)+xi 明显只需看xi能否被a整除，显然

但code不好判断条件，

上面推理中一下到了各位，我们发现

xi*b^yi=xi*(b-1 +1)*b^(yi-1)

即3法则<=>b-1能被a整除

类比法

11法则<=>b+1能被a整除

 

 

至此，问题可以说解决了大半

  2法则<=>^i能被a整除 code分解质因数

      3法则<=>b-1能被a整除

  11法则<=>b+1能被a整除

      6法则<=>分解质因数（注意分类讨论完全）

质因数法则种类必大于0

法则种类>1,有7法则 则为7法则

否则，6法则

法则种类=1，7法则 则为7法则

2法则，则为2法则（很容易证明）

类比法不能乱用，一定要全证明，

3，11法则，不能确定，需在判断

      7法则<=>其它

至此问题已解决，但注意（b，a）可能满足多种法则，所以判断顺序还需思量

 

 

 

 

 

 

 

C - Name

题意;用一个字符串s中的所有字母构成比另一字符串t大，且最小的字符串（字典序）。

solution：

要求大中最小可直接构造，色最后答案字符串为a

从首字母开始构造ai，对于 ti有三种情况

1，s中还有字母ti，那么ai=sti

2，s中没有字母ti，但有比ti大的字母sj，则ai=sj

并且此时a可以确定，可把s中剩余字母按字典序排成最小接在后面

3，s中没有字母ti，也没有比ti大的字母，那么此处ai无法填（填任何一个a就不合 法了），但是a还是存在，因为对于j<i,aj=tj,,随便举一例可发现，此时该后退，找到某 一位置，按2中方式处理

另外，注意s，t的长度影响，

枚举完t长度的ai，都是1那种情况，

 此时，s长度大于t长度，补齐

s长度等于t长度，则需像3中那样回退

s长度不可能小于t长度

 

构造法原理在于将问题（要构造的东西）分成许多步，每步都可证明是合乎题意的（最优的）

 

D - Mathematical Analysis Rocks!

题意：只读题的话感觉有歧义，分析样例可发现对于数组a,b

求数组c   a，b，c满足bi=a[ci]

分析：

理清数组映射关系即可

E - Demonstration

题意：题目有些复杂，需耐心读题

游行者每天占一个未使用的广场

此时政府

该广场是否最坏（广场优劣从左到右越劣，最坏其实就是最靠右的一个）

是，不管，游行者占领成功

不是，看是否有钱

有钱就必须占用该广场，并把游行者赶到最坏广场（然后其实游行者不管接不接受最后一个广场其实都无所谓）

没钱，游行者占领成功

问：游行者最后能占领的最优广场

构造法，找贪心策略，但发现两种贪心策略不能共存

前期尽量耗钱，与选较优广场

逆向思维法，按时间来说是倒着来或者说是假设已知结果倒推

假设最后一天（第k天）游行者能选的最优广场为xk，则有

（假设然后推出充要条件,枚举答案用充要条件判断）

Sum-<money[xk]

很快我们便有算法，枚举x，看上不等式能否满足即可

要是上式满足，就须使最大，就是把money从大到小排序选前k-1个即可

至此算法已出

从左往右枚举xK

xK是否在按排好序的前k-1个中

分别验证不等式即可

 

F - Fools and Roads

题意：一棵树，m条路径，问每条边都有多少条路径经过

分析：找路径可用lca，但？？

想到树链剖分可以把一棵树拆分映射到一个一维数组上，树上的一条路径可由数组上不超过logL个区间表示，然后可在此一维数组上用数据结构进行操作

此题完全可如此做，每次操作给路径上的边次数加1，=>给logL个区间值加1

最后询问问每条边-----改点问区间，可由树状数组实现

算法复杂度为nlognlogn可过

 

但此题还有更简单解法，上题我们忽略树，那么题就是 给区间累加某个值，最后询问某点值

这可用累加数组修改区间来解决，[a,b]加1 ，操作为d[a]++,d[b]--, 最后d[i]=sum[i];

但此题是在树上，不过也可以做，c=lca(a,b), d[a]++,d[b]++,d[c]-=2, 最后 d[i]=子树中的累加值，注意树的叶子是起始点，

即c=lca(a,b), d[a]--,d[b]--,d[c]+=2, 最后 d[i]=从根走到此的累加值 是有问题的

此算法复杂度 nlogn+n

 

G - Thwarting Demonstrations

题意：有一个数列（既有正数也有负数），求第k大的区间和

分析：明显答案是有序的，可以考虑二分答案

二分的上下界可由连续最大（小）和简单DP算出

对于二分出的值val，我们需判断其是第几大，等价于，求区间和大于val的区间个数

[a,b]的区间和可用sum[b]-sum[a-1]描述，枚举所有区间是n^2的算法

不可能全枚举，我们很容易想到单调思想，

左端点右移时（先枚举左端点a），发现以计算出的值再减去原先左端点的值即可

（i->i+1  ,he(i+1,j)=he(i,j)-d[i]），可以发现在右移过程中，大小关系不变，

不过这对我们没帮助，因为我们要知道其值是否大于val，？？？？

再描述下问题，求满足 sum[b]-sum[a-1]>=val的有多少对(a,b)

我们把式子移项，求满足 sum[b]>=sum[a-1]+val的有多少对(a,b)

（问题用数学语言描述，化简后解决）

这样的话，sum【b】是固定的，每次枚举sum【a】，求数目可先把sum【b】排序，然后二分查找sum【a-1】+val在里面的位置即可，

另外由于对应sum【a-1】，sum【b】中小标小于a的都要删除，可用单调思想来保证，每次只删除一个，然后询问区间有多少个（改点问区间--树状数组）（此种树状数组类似最长不下降序列的树状数组）

算法复杂度nlognlogn

 

 

 

 

 

H - Cubes

题意：由N*N个矩阵格子中，第i行第j列格子放置a（i，j）个立方体，问：在极远处往（vx,vy）方向看去，能看到多少立方体

分析：

可以通过翻转，处理下（vx，vy）向量，且可先处理vx=0 或 vy=0的情况。

 

然后可以发现，其可以转化为平行光照射问题，

 

 

然后可以发现：按每行的顺序处理格子，就是看这一格子某一边的光线照射情况，此情况可用线段树实现。

 

注意点：

1，按照正常的考虑，状态有平移过程，但线段树没写过平移，所以逆向反射回去看

2，注意要考虑格子的两边，其实可转化为一边

3，用lazy思想必考虑delta数组，修改必有pushdown 和pushup

4，此处处理的是线而非点，区间划分为[p,q],->[p,mid],[mid,q],最后需加以特判