组合数学

组合数学——polya定理及其应用

polya定理 置换群 

    Polya定理

    设有n个对象，G是这n个对象上的置换群，用m种颜色涂染这n个对象，每个对象涂染一种颜色，问有多少种染色方案？一种染色方案在群G的作用下变为另一种方案，则这两种方案当作是一种方案。

    方案数为

 

POJ2409

   题意：一家项链公司生产手镯。n颗珠子形成一个环，用m种颜色给n颗珠子染色，就得到了各种各样的手镯。但是，经过旋转和翻转使之吻合的算同一种方案。

例如，当用2种颜色对5颗珠子进行染色的方案数为8，如下图所示。

 

解：显然，对于这n个对象，有n种旋转和n种翻转。

1. 对于旋转，有c(gi) = gcd(n,i)，i为转动几颗珠子。

2. 对于翻转，当n为奇数时，c(gi) = n/2+1；

                   当n为偶数时，有n/2个的循环节数为n/2+1，有n/2个的循环节数为n/2。

Cpp代码  

1. #include <iostream>  
2. #include <cstdio>  
3. #include <cstring>  
4. #include <cmath>  
5. using namespace std;  
6.   
7. typedef __int64 int64;  
8.   
9. int gcd(int a, int b)  
10. {  
11.     return b==0?a:gcd(b,a%b);  
12. }  
13.   
14. //用m种颜色涂均匀分布在圆环上的n颗珠子的方案数  
15. int64 polya_circle(double m, int n)  
16. {  
17.     int64 result = 0;  
18.     //旋转  
19.     for(int i = 1; i <= n; i++)  
20.         result += pow(m,gcd(n,i));  
21.     //翻转  
22.     if(n%2)  
23.         result += n*pow(m,n/2+1);  
24.     else  
25.         result += (pow(m,n/2)+pow(m,n/2+1))*n/2;  
26.     return result/n/2;  
27. }  
28.   
29.   
30. int main()  
31. {  
32.     int c,s;  
33.     while(true)  
34.     {  
35.         scanf("%d %d",&c,&s);  
36.         if(c==0&&s==0)  
37.             break;  
38.         printf("%I64d\n",polya_circle(c,s));  
39.     }  
40.     return 0;  
41. }