数论基础【第一讲】

一，整数的整除性

  定义：设a，b是两个整数，其中，b！=0，如果存在一个整数q，使得a=q*b，则称b整除a，或者说a能被b整除，记为b|a，b为a的因子，而a为b的倍数。

             如果满足上式的q不存在的话，那么说，b不能整除a，或者说a不能被b整除，记为a|\(符号不好打)b。

  定理1.1  设a，b，c为为整数，则

            （1），如果a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即b|a，c|b，那么c|a。

             简单证明：a=k1*b，b=k2*c，将后面的式子带入前面的得到，a=k1*k2*c。可知k1，k2都为整数，所以c|a。

            （2），如果a，b是c的倍数，那么a±b是c的倍数。

             简单证明：a=k1*c，b=k2*c那么a±b=(k1±k2)*c，所以c|(a±b)。

            （3），如果b|a，且a|b，那么a=±b。

             简单证明：b|a就是a=k1*b，a|b就是b=k2*a，将前面的式子带入后面的得到b=k1*k2*b，得k1*k2=1；得k1=±1，k2=±1。

            （4），设m！=0，b|a，那么mb|ma。

             简单证明：a=k1*b，m*a=m*k1*b也是成立的。

  例题：设a，b是给定的两个整数，并且存在整数x，y，使得a*x+b*y=1，如果有a|n，b|n，则a*b|n。

             证明：n=k1*a，n=k2*b，

      根据题意，n=n*1=n*(a*x+b*y)=n*a*x+n*b*y=k2*b*a*x+k1*a*b*y=a*b*(k2*x+k1*y)。

              所以，a*b|n。

  定理1.2  （剩余定理） 如果a，b是两个整数，b！=0，则存在唯一的整数对q，r，使得a=b*q+r，0<=r<b。

                  可以证明q，r是存在的并且是唯一的。

二，公因数

  定义：设a，b是两个整数，如果存在d，使得d|a，d|b，那么称d为a，b的公因子。

           一般的，设ai(1<=i<=k)是k个整数，如果d|ai，那么称d为ai公因子。d一定存在（可以取1）。

  定义：设ai(1<=i<=k)是k个整数，则称ai的公因子中的最大的位最大公因子，记为(a1,a2,....ak)。特别的，如果(a1,a2,.....ak)=1，就称k个整数ai互素（互质）。

  如果整数ai(1<=i<=k)，两两互素，那么(a1,a2,.....ak)=1，反之则不然。也就是说，(a1,a2,a3.....ak)=1，ai不一定就是两两互素的。

  定理1.3  设ai(1<=i<=k)是k个整数，则ai的公因数与|ai|的公因子相同。特别的(a1,a2,a3.....ak)=(|a1|,|a2|....|ak|)。

  定理1.4  (0,b)=|b|。0和任意整数的最大公因子为该整数的绝对值。

  定理1.5 设a，b，c是三个非零整数，且a=b*q+c，其中q是整数，则a，b与b，c有相同的公因子。特别的(a,b)=(b,c)。根据辗转相除法就可以得到。

  最大公约数求法（欧几里得算法，也称为辗转相除法）：

  简单来说，就是gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

  简单证明：
  设a>b，a=q*b+r，（0<=r<b）。

  gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(a-2*b,b)=.....gcd(a-q*b,b)=gcd(r,b)=gcd(b,r)。

  那么问题就转化为求gcd(b,r)，b=q1*r+r1，(0<=r1<r)。

 同样可以转化为求gcd(r,r1)，的问题。

 依次类推gcd(a,b)=gcd(b,r)=gcd(r,r1)=gcd(r1,r2)=gcd(r2,r3)=.......gcd(rn-1,rn)。

 可以知道，r>r1>r2>r3>r4.....rn肯定会有rn=0可以的到gcd(rn,rn+1)=rn。所以，就可以求得gcd(a,b)。

三，裴蜀恒定理。（得名与法国数学家艾迪安·裴蜀）

   裴蜀恒等式：ax+by=gcd(a,b)。其中x,y是两个整数。

    证明：

    我们知道在求两个整数a，b的最大公约数时候。

    gcd(a,b)=rn=rn-2-rn-1*q

                rn-1=rn-3-rn-2*q1带入上式得，

    gcd(a,b)=(1+q*q1)*rn-2-rn-3，

    设x1=1+q*q1，y1=-rn-3。

    依次类推，可以推出(相当于欧几里得的逆运算)，当rn-2=a，rn-3=b，ax+by=gcd(a,b)。可以知道x，y为整数。求得x，y。

   我们可以知道，该等式的解是不唯一的。

   因为a*(x+k*b)+b*(y-k*a)=ax+by=gcd(a,b)。所以该等式的整数解是不唯一的。

   一般的ax+by=m，当m是gcd(a,b)是倍数的时候，才会有整数解。

   裴蜀等式的特殊情况：

   当a，b互素的时候，ax+by=1才有解。

   裴蜀恒等式还是可以推广到多个数的最大公约数：

   对于任意的正整数a1,a2,a3,.....ak，存在整数x1,x2,x3....xk使得:

   x1*a1+x2*a2+x3*a3+......xk*ak=gcd(a1,a2,a3.....ak)。