poj_2985 The k-th Largest Group 树状数组求第K大

题目链接：http://poj.org/problem?id=2985

题目大意：某人养了很多猫，他会把一些猫合并成一组，并且会询问第k大组有几只猫

前面说了树状数组的三个用途，现在说一下树状数组求  第K大。

对于一个数组，求第K大的数，只需要sort排序一下，取第k个值即可，但是当不停的改变数组中元素时（即在线询问），对于每次询问的第k大值，都要对数组重新进行排序，时间复杂度（快排N*logN）*（询问N）；

那我们来看一下用树状数组：

首先树状数组C【i】里面存的是在i管辖的范围内各个组数的和，比如  1出现2次，2出现3次，4出现6次，那么a【1】=2，a【2】=3，a【3】=0，a【4】=6；故c【4】=11；

对于a数组{1,1,2,2,2,2,3,4,5,5,5,5,6,7,8};

则现在的a数组为{2,4,1,1,4,1,1,1}，有这个数组，树状数组应该自己能构建出来了吧。。。

第一种方法：二分法

每次二分产生一个mid，判断get_sum（mid）的值与k的大小，更新mid的值，代码如下：

#include<stdio.h>#define N 200005int m,n;int f[N],a[N],c[N];void init()//初始化{    for(int i=1;i<N;i++)    {        f[i]=i;        a[i]=1;//初始状态每种编号的猫只有一只    }}int find(int x)//判断两堆猫是否在一个集合{   if(x==f[x]) return x;   return f[x]=find(f[x]);}int lowbit(int x)  {return x&(-x);}void insert(int x,int v)//更改某种数量猫的个数{    while(x<N)    {        c[x]+=v;        x+=lowbit(x);    }}int get_sum(int x)//求和{    int sum=0;    while(x>0)    {        sum+=c[x];        x-=lowbit(x);    }    return sum;}int main(){    int m,n;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        init();        insert(1,n);//个数为1的堆数有N堆，故在1处插入N，向后更新        int num=n;        for(int i=1;i<=m;i++)        {            int mark;            scanf("%d",&mark);            if(mark==0)            {                int x,y;                scanf("%d%d",&x,&y);                int fx=find(x);                int fy=find(y);                if(fx==fy) continue;                insert(a[fx],-1);//当fx和fy合并后，数量为fx和fy的堆数都减少1                insert(a[fy],-1);                a[fy]+=a[fx];                insert(a[fy],1);//数量为fx+fy的堆数增加1                f[fx]=fy;                num--;//没次合并总堆数-1            }            else            {                int k;                scanf("%d",&k);                k=num-k+1;//第k大即第num-k+1小                int s=1,e=n,mid;                while(s<=e)                {                    mid=(s+e)/2;                    if(get_sum(mid)>=k)//尽量向左逼近                        e=mid-1;                    else                        s=mid+1;                }                printf("%d\n",s);            }        }    }    return 0;}

上面的方法还比较好理解，下面说一下第二种方法：

首先说一个东西：任何一个正整数都能分成几个数的平方的和，然后就有了下面的方法：

前k大的数我们假如有x个，那么我们就先找到一个比x小的最大的数y，然后x=x-y，然后再找一个y，不停的找下去，直到x为1 。。。

下面解释摘自大牛博客：

因为要求第k小的数，所以要从左往右加过去，
上述过程其实就是把树状数组的求和操作逆向，从左往右求和，
边求和边判断控制范围内比当前值要小的数是否超过或等于k,如果是则跳回兄弟节点(ans-=(1<<i))
如8+4=12，假如12不满足要求，则重新变回8，下一次就加2,8+2=10，即跳到10控制的位置
上述累加过程不会重复计算，因为
比如15=8+4+2+1，数字依次为8  12  14  15，每次累加后的值都与前面的值无关，i小于其二进制末尾0的个数
即c[8] 、c[12] 、c[14]、 c[15]相加的话不会重复计算，再如11=8+2+1;数字依次为8 10 11，c[8],c[10],c[11]
各自控制着自己的范围，不会重复累加，所以就可以用cnt来累加前面的结果，最后cnt+c[ans]就表示了值<=ans的个数
简言之：上述的各个数字两两间控制的范围不会相交

代码如下：

#include<stdio.h>#define N 200005int m,n;int f[N],a[N],c[N];void init(){    for(int i=1;i<N;i++)    {        f[i]=i;        a[i]=1;    }}int find(int x){   if(x==f[x]) return x;   return f[x]=find(f[x]);}int lowbit(int x)  {return x&(-x);}void insert(int x,int v){    while(x<N)    {        c[x]+=v;        x+=lowbit(x);    }}int get_sum(int x){    int sum=0;    while(x>0)    {        sum+=c[x];        x-=lowbit(x);    }    return sum;}int find_kth(int k){    int ans=0,cnt=0;    for(int i=20;i>=0;i--)//1<<20应该不小了吧    {        ans+=(1<<i);        if(ans>N||cnt+c[ans]>=k)            //这里大于等于k的原因是可能大小为ans的数不在c[ans]的控制范围之内，所以这里求的是 < k            ans-=(1<<i);        else          //cnt用来累加比当前ans小的总组数            cnt+=c[ans];    }    //求出的ans是累加和（即小于等于ans的数的个数）小于k的情况下ans的最大值，所以ans+1就是第k大的数    return ans+1;}//因为要求第k小的数，所以要从左往右加过去，//上述过程其实就是把树状数组的求和操作逆向，从左往右求和，//边求和边判断控制范围内比当前值要小的数是否超过或等于k,如果是则跳回兄弟节点(ans-=(1<<i))//如8+4=12，假如12不满足要求，则重新变回8，下一次就加2,8+2=10，即跳到10控制的位置//上述累加过程不会重复计算，因为//比如15=8+4+2+1，数字依次为8  12  14  15，每次累加后的值都与前面的值无关，i小于其二进制末尾0的个数//即c[8] 、c[12] 、c[14]、 c[15]相加的话不会重复计算，再如11=8+2+1;数字依次为8 10 11，c[8],c[10],c[11]//各自控制着自己的范围，不会重复累加，所以就可以用cnt来累加前面的结果，最后cnt+c[ans]就表示了值<=ans的个数//简言之：上述的各个数字两两间控制的范围不会相交int main(){    int m,n;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        init();        insert(1,n);        int num=n;        for(int i=1;i<=m;i++)        {            int mark;            scanf("%d",&mark);            if(mark==0)            {                int x,y;                scanf("%d%d",&x,&y);                int fx=find(x);                int fy=find(y);                if(fx==fy) continue;                insert(a[fx],-1);                insert(a[fy],-1);                a[fy]+=a[fx];                insert(a[fy],1);                f[fx]=fy;                num--;            }            else            {                int k;                scanf("%d",&k);                k=num-k+1;                printf("%d\n",find_kth(k));            }        }    }    return 0;}

品味。。。