Gamma 函数

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Γ函数

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$\Gamma \,$ 函数，也叫做伽玛函数（Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z，伽玛函数定义为:

$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{e^t} \,{\rm{d}}t$

此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

如果n为正整数，则伽玛函数定义为:

Γ(n) = (n − 1)!，

这显示了它与阶乘函数的联系。可见，伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。

在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。

定义

$\Gamma \,$ 函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：

$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t}\rm{d}t$

对复数 $z\,$ ，我们要求Re(z) > 0。

Γ函数还可以通过对 $e^{-t}\,$ 做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： $\Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\!}\frac{1}{n+z}$

这样定义的Γ函数在全平面除了 $z=0,-1,-2,\ldots$ 以外的地方解析。

Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示：

$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} \left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^z \right\}$

这样定义的Γ函数在全平面解析

无穷乘积

$\Gamma\,$ 函数可以用无穷乘积表示：

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{\frac{z}{n}}$

其中 $\gamma\,$ 是欧拉-马歇罗尼常数。

Gamma积分

$1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x$

$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} {\rm{d}}x$

递推公式

$\Gamma \,$ 函数的递推公式为： Γ(x + 1) = xΓ(x)，

对于正整数 $n\,$ ，有

Γ(n + 1) = n!，

可以说 $\Gamma \,$ 函数是阶乘的推广。

递推公式的推导

$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n {\rm{d}}x$

我们用分部积分法来计算这个积分：

$\int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x$

当 $x=0 \,$ 时， $\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$ 。当 $x \,$ 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0$ .

因此第一项 $\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty$ 变成了零，所以：

$\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{e^x} {\rm{d}}x$

等式的右面正好是 $n \Gamma(n)\,$ 。因此，递推公式为：

${\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,$ 。

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无穷乘积

Gamma积分

递推公式

递推公式的推导