梯度下降法

今天开始看到损失函数(错误函数)求解时，可以用最小二乘法，Andrew Ng视频中讲的梯度下降法，于是决定学习梯度下降法求损失函数的最小值，如下：

比如估计函数如下，例子源自这里：

加入X0 = 1，我们就可以用向量表示为：

损失函数表示为：

最后主要是求 的最小值，上面公式中利用估计值与真实值y(i)差的平方作为错误估计函数，1/2是为了在求导的时候，消去平方项的系数。

梯度下降法又称最速下降法

原理是：将函数比作一座山，站在某个山坡上，往四周看，从哪个方向向下走一小步，能够下降的最快；

首先，对J(theta)求偏导得到

θi会向着梯度最小的方向进行减少。θi表示更新之前的值，-后面的部分表示按梯度方向减少的量，α表示步长，也就是每次按照梯度减少的方向变化多少。

具体如下：

其中a决定了下降的步伐，负号后面的导数部分决定了下降的方向

在一维空间内可以理解为

如上图所示如果当前点为A，那么A点的偏导数小于0，也就是斜率小于0.那么此时A应该往右走找到B才是正确的方向，也就是说

此时应该是A的横坐标+A的偏导数的相反数*系数

同理：对于C点，此时应该是向左走才是正确的方向，C点的偏导数大于0，

应该表示为

C点的横坐标+C点偏导数的相反数。这个形象的描述了上面的公式。

通过循环迭代的方法，使得当连续两点之间的函数值小于一个给定的阈值时，循环结束，停止下降，得到极小值。

步长太小 就会出现局部极小的现象 就像一个小坑里跳不出来，步长大一些就可以跳过局部极值 但是会在 极值左右不断震荡。

C++代码为：(本段摘自这里)

#include <iostream>  #include <math.h>  using namespace std;  int main()  {      double e=0.00001;//定义迭代精度      double alpha=0.5;//定义迭代步长      double x=0;//初始化x      double y0=x*x-3*x+2;//与初始化x对应的y值      double y1=0;//定义变量，用于保存当前值      while (true)      {          x=x-alpha*(2.0*x-3.0);          y1=x*x-3*x+2;          if (abs(y1-y0)<e)//如果2次迭代的结果变化很小，结束迭代          {              break;          }          y0=y1;//更新迭代的结果      }      cout<<"Min(f(x))="<<y0<<endl;      cout<<"minx="<<x<<endl;      return 0;  }  

结果为：

三维图中显示如下：