leetcode:median of two sorted arrays

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这是我做的第二个leetcode题目，一开始以为和第一个一样很简单，但是做的过程中才发现这个题目非常难，给人一种“刚上战场就踩上地雷挂掉了”的感觉。后来搜了一下leetcode的难度分布表（leetcode难度及面试频率）才发现，该问题是难度为5的问题，真是小看了它！网上搜了很多答案，但是鲜见简明正确的解答，唯有一种寻找第k小值的方法非常好，在此整理一下。

       首先对leetcode的编译运行吐槽一下：貌似没有超时判断，而且small和large的数据集相差很小。此题一开始我采用最笨的方法去实现，利用排序将两个数组合并成一个数组，然后返回中位数：

[cpp] view plaincopyprint?

1. class Solution {  
2. public:  
3.     double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {  
4.         // Start typing your C/C++ solution below  
5.         // DO NOT write int main() function  
6.         int *a=new int[m+n];  
7.           
8.         memcpy(a,A,sizeof(int)*m);  
9.         memcpy(a+m,B,sizeof(int)*n);  
10.           
11.         sort(a,a+n+m);  
12.           
13.         double median=(double) ((n+m)%2? a[(n+m)>>1]:(a[(n+m-1)>>1]+a[(n+m)>>1])/2.0);  
14.           
15.         delete a;  
16.           
17.         return median;  
18.     }  
19. };  

该方法居然也通过测试，但是其复杂度最坏情况为O(nlogn)，这说明leetcode只对算法的正确性有要求，时间要求其实不严格。

另一种方法即是利用类似merge的操作找到中位数，利用两个分别指向A和B数组头的指针去遍历数组，然后统计元素个数，直到找到中位数，此时算法复杂度为O(n)。之后还尝试了根据算法导论中的习题（9.3-8）扩展的方法，但是该方法会存在无穷多的边界细节问题，而且扩展也不见得正确，这个可从各网页的评论看出，非常不建议大家走这条路。

最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

最终实现的代码为：

[cpp] view plaincopyprint?

1. double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)  
2. {  
3.     //always assume that m is equal or smaller than n  
4.     if (m > n)  
5.         return findKth(b, n, a, m, k);  
6.     if (m == 0)  
7.         return b[k - 1];  
8.     if (k == 1)  
9.         return min(a[0], b[0]);  
10.     //divide k into two parts  
11.     int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;  
12.     if (a[pa - 1] < b[pb - 1])  
13.         return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);  
14.     else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])  
15.         return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);  
16.     else  
17.         return a[pa - 1];  
18. }  
19.   
20. class Solution  
21. {  
22. public:  
23.     double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)  
24.     {  
25.         int total = m + n;  
26.         if (total & 0x1)  
27.             return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);  
28.         else  
29.             return (findKth(A, m, B, n, total / 2)  
30.                     + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;  
31.     }  
32. };  

我们可以看出，代码非常简洁，而且效率也很高。在最好情况下，每次都有k一半的元素被删除，所以算法复杂度为logk，由于求中位数时k为（m+n）/2，所以算法复杂度为log(m+n)。