判断三维空间中的一个点是否在三角形内，边上的一种算法

  

   假设三角形的三点用A（Xa,Ya,Za）,B(Xb,Yb,Zb),C(Xc,Yc,Zc)表示，判断P(Xp,Yp,Zp)与三角形ABC的关系

网上判断点是否处于三角内内部，边上的方法有很多，但是比较简洁的方法，比如面积法，即判断三角形PAB,PAC,PBC之和与三角形ABC的面积。如果S(PAB+PAC+PBC)=S(ABC),则点位于三角形内部，或边上。但是上述方法由于涉及到平方和开根号，计算量比较大。

   最近自己整理了一个计算量稍小的算法。具体如下：

令向量（B-A）=（X1,Y1,Z1）；向量(C-A)=(X2,Y2,Z2)；向量（P-A）=（X3,Y3,Z3）；

假设点P位于三角形ABC所在的平面，则向量（P-A）可以用向量（B-A）和（C-A）表示，即（P-A）=m*(B-A)+n(C-A);只要求出m,n的值即可判断点与三角形的关系。如果没有解，那么p不在三角形所在平面，如果有解，那么：                            若：          若：         若：

   m>0                         m=0;          n=0;         m>0;

   n>0;                        n>0;          m>0;         n>0;

   m+n<1                       m+n<1;         m+n<1;       m+n=1;

则P在三角形内部。               P在AC边上   P在AB边上      P在BC边上

 

所以，问题的关键是要计算m,n的值，从而可以得到点和三角形的空间关系。

具体步骤如下：

由（P-A）=m*(B-A)+n(C-A)得到（X3,Y3,Z3）=m*（X1,Y1,Z1）+n*（X2,Y2,Z2），写成矩阵形式，得到：

X1 X2   m    X3

Y1 Y2*    =  Y3

Z1 Z2   n    Z3

          X1X2                   X3

令矩阵K为  Y1Y2               b为 Y3

          Z1Z2                   Z3

      因为ABC为三角形，所以向量（B-A）=（X1,Y1,Z1）；向量(C-A)=(X2,Y2,Z2)线性不相关，即矩阵K为列满秩矩阵，所以

    m

        =K的加号逆*b;

    n

其中K的加号逆为