德梅齐里亚克砝码问题

   腾讯2014年实习生招聘笔试最后一个题很有意思：用四个砝码表示40以及40克一下的任意整数重量的物品，问这四个砝码分别是多重？

    笔试没有做出来，回来后搜了答案才知道这是德梅齐里亚克砝码问题，具体是这样的。

对于这个问题，首先要意识到的问题是这四个整数a，b，c，d可以任意之间相互进行加减来表示一个数（砝码可以在天边的两边）。而这些任意加减组合，组成的数不能重合才能用这些组合表示出最多的数。

比如，如果是两个砝码1和2，他们相减为1，与1重合了，造成了冗余，就不能满足我们所要求的条件。而1和3，加减组合起来可以表示1到5之间的任何整数而不会有重复。

有了这样的概念之后，我们就可以进行后续的深入探讨了。

    对于这个问题，首先我们假设已知砝码所能表示的M及以下的任何重量，下一个砝码的重量为X；

    初始条件为第一个砝码为1，可以表示M=1的重量；

    然后我们需要表示M'=M+1=2的重量了，这个时候，X可以等于M'-M到M'+M(因为现有的砝码可以表示1到M中的任意一个数，那么要表示M'，可以是X=M'-M=1到X=M'+M这之中任何一个数)中的任意一个数，也就是1到3中的任意一个数，都可以通过X与M的加减组合来表示出M'，那应该选择那个数呢？根据我们的前提条件，就是要求X与已有的砝码的任意加减组合不要出现重复。已有的砝码组合可以表示M与M以下的任意一个数了，所以只需要X与已有数之间的加减组合不要出现M和M以下的数就可以了，也就是说，X>2*M,那么在（M'-M到M，和M'+M）中只有X=M'+M满足条件，于是X=2+1=3；而又正是因为M之内的任何数都可以在原来已知的砝码中找到组合，所以X+M内的任意重量也是可以通过X与原来已知的砝码的组合中组成。所以X与原有的砝码1一起任意加减组合可以表示1,2,3,4这四个数；所以M=4；

    继续求解，我们要求的下一个数M'=M+1=5，X可以等于（M'-M到M'+M）只的任意一个数，同样的X>2*M，所以X=M'+M=9;与现有的砝码1和3一起任意组合可以表示1到13中的任意重量；

    以此类推，我们可以知道X=M'+M=2*M+1;

    综上，我们得解，该问题的答案是四个砝码的重量分别是1,3,9,27.

    此问题还可以做一下扩展：给你五个整数重量的砝码，你最多可以表示多少克以内的任意重量。

    从上面的推导我们可以求出，如果有五个砝码，那第五个砝码重量为2*40+1=81，所以可以表示81+40=121以内的任意重量。

    这是我对这个问题的理解与解决的思路，更多详细的关于德梅齐里亚克的问题请参见http://blog.csdn.net/zhu_hit/article/details/5697888

    这是我第一次开博写文章，知识点的缺漏与表达的不清楚的地方，请大家多多包含，欢迎给我留言，一起探讨问题，==大牛就直接忽略我吧。