MATLAB实现FFT

信号的频率分析

 

利用MATLAB编程，即可实现上述的运算，程序如下：

得到结果：

可见FFT跟DFT并没有本质上的区别，基于这一点，上面先介绍DFT，后面再在DFT基础之上介绍实现FFT的编程运算。

给定一个序列，画出其DTFT之后的结果（蓝线）以及DFT之后的结果（红线），这就验证了DTFT到DFT的转化原理，即时间序列确定的情况下，其频率特性已经确定，即DTFT曲线，对其做不同点数的DFT，只是在频率曲线上进行不同程度的采样，并不改变原来的频率特性。有了这样的理论基础，我们就可以解决上面提到的那个问题，即如果序列的长度并不是2的整次幂，我们可以在序列的后面补零，序列的零值不会增加新的信息，同时可以实现FFT运算。

1.3 FFT实现

实现快速傅里叶变换的途径有两条：

1)  按时间抽取的FFT。原理是把序列按奇偶划分，实现FFT运算。

2)  按频率抽取的FFT。原理是把序列按长度从中间划分，实现FFT运算。

按时间抽取的FFT：

这样的关系，可以借助蝶形图进行表示：

 

这样就实现了一级的快速运算，如果划分之后的信号，依旧满足奇偶划分，就可以在这样的基础上，再次简化运算，原理就不再一一列出。以8点为例，最简型的DFT对应的蝶形图如下：

观察最左边的数据，排列的顺序存在这样的规律：

以x(6)对应X（3）为例，在二进制编码中，3=011，而6=110；即二者反序。对应图标的形式为：

有了这样的规律，便可编程实现：

1)  对于一个M位长的二进制码，每次在个位上加一，得到对应的反序码；

2)  将得到的反序码转化为十进制的数字，并以此为下标，将原来的数据放到该下标下。

给定一个长度为8的序列：

即：

基于上面一系列的分析，即可对数据实现FFT处理。

实验验证，该FFT程序有效。

1.4 级联FFT

FFT无疑提高了数据频域分析的速度，但对于一个非常长的序列，直接进行运算既占内存，又影响速度，所以通常可以把一个长的序列分段，拼成一个二维数据，分段内、段间分别处理,级联FFT的原理就不再细细介绍，只说一下简单流程：

结果：

可见，几种FFT变换都可以实现数据的频域变换。