B-树和B+树的应用

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B-树

1 .B-树定义

B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。

定义：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树：
⑴树中每个结点至多有m 棵子树；
⑵若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；

⑶除根结点之外的所有非终端结点至少有[m/2] 棵子树；
⑷所有的非终端结点中包含以下信息数据：

      （n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki<Ki+1，

           Ai 为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1 所指子树中所有结点的关键码均小于Ki(i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的关键码均大于Kn.

           n   为关键码的个数。
⑸所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。

   即所有叶节点具有相同的深度，等于树高度。

 如一棵四阶B-树，其深度为4.

          

B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。

在上图的B-树上查找关键字47的过程如下：

1）首先从更开始，根据根节点指针找到 *节点，因为 *a 节点中只有一个关键字，且给定值47 > 关键字35，则若存在必在指针A1所指的子树内。

2）顺指针找到 *c节点，该节点有两个关键字（43和 78），而43 < 47 < 78,若存在比在指针A1所指的子树中。

3）同样，顺指针找到 *g节点，在该节点找到关键字47,查找成功。

2. 查找算法

1. typedef int KeyType ;  
2. #define m 5                 /*B 树的阶，暂设为5*/  
3. typedef struct Node{  
4.     int keynum;             /* 结点中关键码的个数，即结点的大小*/  
5.     struct Node *parent;    /*指向双亲结点*/   
6.     KeyType key[m+1];       /*关键码向量，0 号单元未用*/   
7.     struct Node *ptr[m+1];  /*子树指针向量*/   
8.     Record *recptr[m+1];    /*记录指针向量*/  
9. }NodeType;                  /*B 树结点类型*/  
10.   
11. typedef struct{  
12.     NodeType *pt;           /*指向找到的结点*/  
13.     int i;                  /*在结点中的关键码序号，结点序号区间[1…m]*/  
14.     int tag;                /* 1:查找成功，0:查找失败*/  
15. }Result;                    /*B 树的查找结果类型*/  
16.   
17. Result SearchBTree(NodeType *t,KeyType kx)  
18. {   
19.     /*在m 阶B 树t 上查找关键码kx，反回(pt,i,tag)。若查找成功，则特征值tag=1，*/  
20.     /*指针pt 所指结点中第i 个关键码等于kx；否则，特征值tag=0,等于kx 的关键码记录*/  
21.     /*应插入在指针pt 所指结点中第i 个和第i+1 个关键码之间*/  
22.     p=t;q=NULL;found=FALSE;i=0; /*初始化，p 指向待查结点，q 指向p 的双亲*/  
23.     while(p&&!found)  
24.     {   n=p->keynum;i=Search(p,kx);          /*在p-->key[1…keynum]中查找*/  
25.         if(i>0&&p->key[i]= =kx) found=TRUE; /*找到*/  
26.         else {q=p;p=p->ptr[i];}  
27.     }  
28.     if(found) return (p,i,1);               /*查找成功*/  
29.     else return (q,i,0);                    /*查找不成功，反回kx 的插入位置信息*/  
30. }  

 

B- 树查找算法分析

从查找算法中可以看出， 在B- 树中进行查找包含两种基本操作:

        ( 1) 在B- 树中查找结点；

        ( 2) 在结点中查找关键字。

       由于B- 树通常存储在磁盘上， 则前一查找操作是在磁盘上进行的， 而后一查找操作是在内存中进行的， 即在磁盘上找到指针p 所指结点后， 先将结点中的信息读入内存， 然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K 的关键字。显然， 在磁盘上进行一次查找比在内存中进行一次查找的时间消耗多得多.

      因此， 在磁盘上进行查找的次数、即待查找关键字所在结点在B- 树上的层次树， 是决定B树查找效率的首要因素

        那么，对含有n 个关键码的m 阶B-树，最坏情况下达到多深呢？可按二叉平衡树进行类似分析。首先，讨论m 阶B-数各层上的最少结点数。

       由B树定义：B树包含n个关键字。因此有n+1个树叶都在第J+1 层。

    1）第一层为根，至少一个结点，根至少有两个孩子，因此在第二层至少有两个结点。

    2）除根和树叶外，其它结点至少有[m/2]个孩子,因此第三层至少有2*[m/2]个结点,在第四层至少有2*[m/2]2 个结点…

    3）那么在第J+1层至少有2*[m/2]J-1个结点,而J+1层的结点为叶子结点,于是叶子结点的个数n+1。有：

          

        也就是说在n个关键字的B树查找，从根节点到关键字所在的节点所涉及的节点数不超过：

      

3.B-树的插入

  B^-树的生成也是从空树起，逐个插入关键字而得。但由于B^-树结点中的关键字个数必须≥ceil(m／2)-1，因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”，

如图（a） 为3阶的B^-树(图中略去F结点(即叶子结点))，假设需依次插入关键字30，26，85。

1) 首先通过查找确定插入的位置。由根*a 起进行查找，确定30应插入的在*d 节点中。由于*d 中关键字数目不超过2（即m-1），故第一个关键字插入完成：如（b）

2) 同样，通过查找确定关键字26亦应插入 *d. 由于*d节点关键字数目超过2，此时需要将 *d分裂成两个节点，关键字26及其前、后两个指针仍保留在 *d 节点中，而关键字37 及其前、后两个指针存储到新的产生的节点 *d` 中。同时将关键字30 和指示节点 *d `的指针插入到其双亲的节点中。由于 *b节点中的关键字数目没有超过2，则插入完成.如（c）(d)

3) (e) -(g) 为插入85后;

插入算法：

1. int InserBTree(NodeType **t,KeyType kx,NodeType *q,int i){   
2.     /* 在m 阶B 树*t 上结点*q 的key[i],key[i+1]之间插入关键码kx*/   
3.     /*若引起结点过大，则沿双亲链进行必要的结点分裂调整，使*t仍为m 阶B 树*/  
4.     x=kx;ap=NULL;finished=FALSE;  
5.     while(q&&!finished)  
6.     {   
7.         Insert(q,i,x,ap);               /*将x 和ap 分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]*/  
8.         if(q->keynum<m) finished=TRUE;    /*插入完成*/  
9.         else  
10.         {                               /*分裂结点*p*/  
11.             s=m/2;split(q,ap);x=q->key[s];  
12.             /*将q->key[s+1…m],q->ptr[s…m]和q->recptr[s+1…m]移入新结点*ap*/  
13.             q=q->parent;  
14.             if(q) i=Search(q,kx); /*在双亲结点*q 中查找kx 的插入位置*/  
15.         }  
16.     }  
17.     if(!finished)           /*(*t)是空树或根结点已分裂为*q*和ap*/  
18.     NewRoot(t,q,x,ap); /*生成含信息(t,x,ap)的新的根结点*t,原*t 和ap 为子树指针*/  
19. }  

4. B-树的删除

      反之，若在B^-树上删除一个关键字，则首先应找到该关键字所在结点，并从中删除之，若该结点为最下层的非终端结点，且其中的关键字数目不少于ceil(m/2)，则删除完成，否则要进行“合并”结点的操作。假若所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y替代Ki，然后在相应的结点中删去Y。例如，在下图  图4.1( a)的B^-树上删去45，可以*f结点中的50替代45，然后在*f结点中删去50。

                                图4.1( a)

因此，下面我们可以只需讨论删除最下层非终端结点中的关键字的情形。有下列三种可能：

    (1)被删关键字所在结点中的关键字数目不小于ceil(m/2)，则只需从该结点中删去该关键字Ki和相应指针Ai，树的其它部分不变，例如，从图  图4.1( a)所示B^-树中删去关键字12，删除后的B^-树如图  图4.2( a)所示：

                           图4.2( a)

   (2)被删关键字所在结点中的关键字数目等于ceil(m/2)-1，而与该结点相邻的右兄弟(或左兄弟)结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1，则需将其兄弟结点中的最小(或最大)的关键字上移至双亲结点中，而将双亲结点中小于(或大于)且紧靠该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

[例如]，从图图4.2( a)中删去50，需将其右兄弟结点中的61上移至*e结点中，而将*e结点中的53移至*f，从而使*f和*g中关键字数目均不小于ceil(m-1)-1，而双亲结点中的关键字数目不变，如图图4.2(b)所示。

                               图4.2(b)

       (3)被删关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由双亲结点中的指针Ai所指，则在删去关键字之后，它所在结点中剩余的关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到 Ai所指兄弟结点中(若没有右兄弟，则合并至左兄弟结点中)。

[例如]，从图4.2(b)所示 B^-树中删去53，则应删去*f结点，并将*f中的剩余信息(指针“空”)和双亲*e结点中的 61一起合并到右兄弟结点*g中。删除后的树如图4.2(c)所示。

 

                                图4.2(c)

 如果因此使双亲结点中的关键字数目小于ceil(m/2)-1，则依次类推。

[例如]，在 图4.2(c)的B-树中删去关键字37之后，双亲b结点中剩余信息(“指针c”)应和其双亲*a结点中关键字45一起合并至右兄弟结点*e中，删除后的B^-树如图 4.2(d)所示。  

                         图 4.2(d)

B-树主要应用在文件系统

为了将大型数据库文件存储在硬盘上 以减少访问硬盘次数为目的 在此提出了一种平衡多路查找树——B-树结构 由其性能分析可知它的检索效率是相当高的 为了提高 B-树性能’还有很多种B-树的变型，力图对B-树进行改进

B+树

      B+树是应文件系统所需而产生的一种B-树的变形树。一棵m 阶的B+树和m 阶的B-
树的差异在于：
⑴有n 棵子树的结点中含有n 个关键码；
⑵所有的叶子结点中包含了全部关键码的信息，及指向含有这些关键码记录的指针，且
叶子结点本身依关键码的大小自小而大的顺序链接。
⑶所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键码。

 

 

 如图一棵3阶的B+树:

通常在B+树上有两个头指针，一个指向根节点，另一个指向关键字最小的叶子节点。因此可以对B+树进行两种查找运算：一种是从最小关键字起顺序查找，另一种是从根节点开始，进行随机查找。 

在B+树上进行随机查找、插入和删除的过程基本上与B-树类似。只是在查找时，若非终端结点上的关键码等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+
树，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。