三分法问题个人总结&MS_活动中心问题

看了一下微软2014编程之美大赛的初赛第一阶段的题目，其中最后一道题，看完之后一点思路都没有，同学说穷举肯定超时，经高手指点，最终方法应该是：

　　使用三分法求解凹（凸）函数的极值问题，所以做了两道三分法求极值的问题练手，现总结如下。

　　注：本文所总结内容还借鉴了博主:rabia在博客http://blog.csdn.net/rabia/article/details/7826144中所描述的内容：

　　二分法作为分治中最常见的方法，在各种比赛中经常出现（如：POJ 1434），但只适用于单调函数，若遇到凸（凹）函数求解极值，可采取三分的方法求解。凸（凹）函数在高数中的定义是：若函数的二阶导数在区间上恒大于0，则该函数在区间为凸函数；反之，小于0为凹函数。在比赛中面对一个问题而推出的求解函数f，求解其二阶导数不是那么容易。为了提高出题效率，可以根据题目所求做出大胆的假设：即若求最大值，则可假设函数为凸的；若求最小值，则可假设函数为凹的（当然求最短路等图论问题除外），具体的三分方法如图：

　　

核心程序段（求解凸函数）如下：

while(r-l>esp){      double mid=(l+r)/2.0;      double midmid=(mid+r)/2.0;           if(f(mid)-f(midmid)>esp)r=midmid;            else l=mid;  }

求解极小值则只需要换成if(f(midmid)-f(mid)>esp)即可

比较不错的题目有：

PKU3301   HDU2438   ZJU3203   Ural1874  LightOJ1146、1240 CodeForces185B

下面是微软编程之美大赛第一阶段初赛第三体“活动中心”和本人的"含水"代码：

时间限制:12000ms

单点时限:6000ms

内存限制:256MB

描述

A市是一个高度规划的城市，但是科技高端发达的地方，居民们也不能忘记运动和锻炼，因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心，方便居住在A市的居民们能随时开展运动，锻炼强健的身心。

城市规划局希望活动中心的位置满足以下条件：

1. 到所有居住地的总距离最小。

2. 为了方便活动中心的资源补给和其他器材的维护，活动中心必须建设在A市的主干道上。

为了简化问题，我们将A市摆在二维平面上，城市的主干道看作直角坐标系平的X轴，城市中所有的居住地都可以看成二维平面上的一个点。

现在，A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。

输入

第一行包括一个数T，表示数据的组数。

接下来包含T组数据，每组数据的第一行包括一个整数N，表示A市共有N处居住地

接下来N行表示每处居住地的坐标。

输出

对于每组数据，输出一行“Case X: Y”，其中X表示每组数据的编号(从1开始)，Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上，任何与标准答案的绝对误差或者相对误差在10^-6以内的结果都将被视为正确。

数据范围

小数据：1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10

大数据：1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 10⁵

对于所有数据，坐标值都是整数且绝对值都不超过10⁶

样例解释

样例1：活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)

样例输入

131 12 23 3

样例输出

Case 1: 1.678787

// MS_ActivityCenter.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#include <math.h>#include <iostream>#include <iomanip>using namespace std;int t;//the number of test casesconst int max_x=1000000;const int min_x=-1000000;double calculateSumDis(int n,double x);struct pos{int x;int y;pos(int x,int y){x=x;y=y;};pos(){x=0;y=0;}};pos positions[100000];int main(){cin>>t;int currentCase=1;while (t>0){int n;//n positionsdouble right,left;double mid;cin>>n;right=min_x;left=max_x;for (int i=0;i<n;i++){cin>>positions[i].x;cin>>positions[i].y;if (positions[i].x>right){right=positions[i].x;}if (positions[i].x<left){left=positions[i].x;}}do {mid=(right+left)/2.0;double midmid=(mid+right)/2.0;double sumDismid=calculateSumDis(n,mid);double sumDismidmid=calculateSumDis(n,midmid);if (sumDismid>sumDismidmid){left=mid;}else{right=midmid;}} while (right-left>0.0000001);cout<<"Case "<<currentCase<<": "<<setprecision(7)<<mid<<endl;currentCase++;t--;}return 0;}double calculateSumDis(int n,double x){double sumDismid=0;for (int j=0;j<n;j++){double powX=pow((positions[j].x-x),2);double powY=pow((double)positions[j].y,2);sumDismid+=sqrt(powX+powY);}return sumDismid;}