push-relable浅谈

算法步骤：

1. 初始化前置流：将与源点s相连的管道流量f(0,i)设为该管道的容量，即 f(0,i)=c(0,i)；将源点s的高度h(0)=V，(V表示图的顶点个数)，其余顶点高度h(i)=0；将源的点余量e(0)设为源容量减去源的流出量，即e(0)=-∑f(0,i)=-∑c(0,i)，与源s相连的点余量设为该点的流入量e(i)=c(0,i)，其余点都为0。
2. 构造一个存储顶点的队列vlist，用以检查点的压栈。从源点s出发，将与之相连的顶点压入栈。
3. 每次从栈中取首个元素，即某一个点，检查其点余量e(i)，若不为0，表示要对该点进行操作——重标记或者压入流：检查与该点i全部的相邻点j，若该点比它相邻点的高度大h(i)>h(j)且该管道的容量c(i,j)大于流量f(i,j)时，将该点的余量以最大方式压入该管道delta=min(e(i), c(i,j)-f(i,j)), 点余量e、流量f相应的进行减加，另外在队列中加入满足点余量e(j)>0的相邻点j(vlist.push(j); j原不存在该队列中)；若没有相邻点满足上述条件，则将该点的高度值h(i)根据相邻点j进行增加,h(i)=min(h(j))+1。以上的重标记或压入流操作循环进行，直至该点的余量e(i)为0。
4. 重复第3步，直至队列vlist中没有元素，停止算法，最后输出汇点t的余量e(t),t=V-1, 该值就是最后所求的最大流。最小割就是选择以上

扩展：

• Push-Relabel算法中的顶点i的最大增加量为2V-1,(数学上可以证明)，因此到最后可能与源相邻的某个点i会以高度h(i)>V的方式将多余量返回给源（源的高度值始终是V）；
• Push-Relabel算法的复杂度为O(V²E)

 

//The Push-Relabel Algorithm 最大流的压入与重标记算法#include "stdafx.h"#include#include#include#include#includeusing namespace std;const int N = 100;bool isMark[N] = {false};bool isCheck[N] = {false};bool flag[N]; //顶点是否在队列 vlist 中int c[N][N], //有向边的容量e[N], //余流f[N][N], //流h[N], //高度n; //顶点数list vlist, //待排除顶点vNearArr[N]; //邻接表void Push(int x, int y){ int df = min(e[x], c[x][y]- f[x][y]); f[x][y] += df; f[y][x] = -f[x][y]; e[x] -= df; e[y] += df;}void Relabel(int x){ h[x] = n*2-1; for (list::iterator iter = vNearArr[x].begin(); iter != vNearArr[x].end(); ++iter)  if (h[*iter] < h[x] && c[x][*iter] > f[x][*iter])   h[x] = h[*iter]; ++h[x];}void Discharge(int x){ list::iterator iter = vNearArr[x].begin(); while (e[x] > 0) //有余流 {  if (iter == vNearArr[x].end())  {   Relabel(x);   iter = vNearArr[x].begin();  }  if (h[x] == h[*iter]+1 && c[x][*iter] > f[x][*iter])  {   Push(x, *iter);   if (e[*iter] > 0 && !flag[*iter])    vlist.push_back(*iter);  }  ++iter; }}void Check(int index){ isCheck[index] = true; int i=0; while (i {  if(c[index][i]>0 && (c[index][i]-f[index][i]>0)) //有余流   isMark[i] = true;  i++; }}void FindMinCut()//最小割存在于源s能够到达的所有点集合（包括s），即s能够通过余量到达该点{ isMark[0] = true; //s永久可达到 int i=0; while (i {  if(isMark[i] && !isCheck[i]) {   Check(i);   i = 0;  }  else i++; } }int Push_Relabel(){ vlist.clear(); //初始化前置流 h[0] = n; e[0] = 0; memset(flag+1, 0, n-2); //1和n-1（即源和汇）不在 vlist 中 flag[0] = true; flag[n-1] = true; //防止源、汇进入 vlist for (int i = 1; i < n; ++i) {  h[i] = 0;  //初始化各顶点高度为 h(i)=0  f[0][i] = c[0][i];  //初始化源与其他与之相连的 边流量f(0,i)=边容量c(0,i)  f[i][0] = -c[0][i]; //反向边容量  e[0] -= c[0][i];    //初始化源的 点余量e(0)=-c(0,i)  e[i] = c[0][i];     //初始化其他 点余量e(i)=c(0,i)  if (c[0][i] > 0 && i != n-1)  {   vlist.push_back(i); //待排除顶点，压入栈   flag[i] = true;  } } //构造邻接表，每个点i的列表vNearArr[i]中存储与点i在图上相邻的点 for (int i = 0; i < n-1; ++i)  for (int j = i; ++j < n; )   if (c[j][i] > 0 || c[i][j] > 0)   {    vNearArr[i].push_back(j);    vNearArr[j].push_back(i);   }; //排除队列中的顶点 while (!vlist.empty()) {  int x = vlist.front();  Discharge(x);  vlist.pop_front();  flag[x] = false; } FindMinCut(); return e[n-1];}int main(){ int m; fstream fptr; fptr.open("graph_data.txt",ios::in); fptr>>m; fptr>>n;  for (int i = 0; i < n; ++i) {  memset(c, 0, sizeof(c[0][0])*n);  memset(f, 0, sizeof(f[0][0])*n);  vNearArr[i].clear(); } int x, y, w; while (!fptr.eof()) {  fptr>>x;  fptr>>y;  fptr>>c[x][y]; } fptr.close();   printf("%d\n", Push_Relabel()); //计算从0（源）到 n-1（汇）的最大流  for (int i=0; i {  if(isMark[i]) printf("%d ", i); } printf("\n"); system("PAUSE");}