[SHTSC 2012] 信用卡凸包

可能是因为太无聊了吧！可能是因为马上就要退役了吧！可能是因为……
反正我就是来写题解了，还能说什么好？数学确实很重要啊！

题目大概意思如下：
首先一张信用卡大体框架是矩形，但是在四个边缘进行了圆滑处理（四个角是半径为r的1/4圆，并且圆满足与矩形的边相切），如下图




现在告诉你信用卡的规格（高、宽、1/4圆半径）还有信用卡张数，并且告诉你每张信用卡在桌面上的坐标以及旋转角度（弧度制，我们默认最开始时信用卡正放于桌面），让你求包围所有信用卡的凸包周长。

输入的第一行是一个正整数 n，表示信用卡的张数。 第二行包含三个实数 a, b, r ，分别表示信用卡（圆滑处理前）竖直方向的长度、水平方向的长度，以及1/4圆的半径。 之后n行，每行包含三个实数 x ,y, θ，分别表示一张信用卡中心（即对角线交点）的横、纵坐标，以及绕中心逆时针旋转的弧度。 
 输出只有一行，包含一个实数，表示凸包的周长，四舍五入精确到小数点后2位。


这题不给样例不行：





我相信“凸包”这个词的出现已经有相当大的指导意义了，计算几何很明显，此题坑点不在凸包上，而在如何处理这些神奇的圆弧长度。
开始看着题果断神犇题，感觉好神奇，是不是原来的凸包算法都不能用了？不过很显然，不是的。
其实细心一点思考，应该把图形变一下（以样例3为例，作图略坑，要怪只能怪windows画图太垃圾>_<......）



很容易发现对顶的黑色夹角与蓝色夹角互补，证明略，而且凸包直线部分和内围直线部分凸包等长，实际上问题转化为求所有圆弧长度，这个只要知道内围凸包上每三个顶点对应的角度就好办了，内围凸包是模板算法，每一个信用卡对应四个点，然后各种三角函数乱搞就可以了，反正我表示三角函数烂成渣，还好比较happy一次AC。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cmath>#define SetPoint(_x,_y) (a[++tot].x=_x,a[tot].y=_y)#define MaxN 10010using namespace std;const double pi=acos(-1);double w,h,r;int st[MaxN];int n,tot,top;double sqr(double x){return x*x;}struct point{double x,y;}a[4*MaxN];#define po const point &inline double xmul(po a,po b,po c){return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);}inline double dist(po a,po b){return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));}inline bool cmp(po p,po q){double d=xmul(a[1],p,q);return d==0.0 ? dist(a[1],p)<dist(a[1],q):d>0;}inline void init(){double x,y,R,angle,base,_x,_y;cin>>n>>h>>w>>r;h/=2,w/=2,h-=r,w-=r;base=asin(h/sqrt(sqr(w)+sqr(h)));R=sqrt(sqr(h)+sqr(w));for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&angle);_x=R*cos(angle+base);_y=R*sin(angle+base);SetPoint(x+_x,y+_y);SetPoint(x-_x,y-_y);_x=R*cos(angle-base);_y=R*sin(angle-base);SetPoint(x+_x,y+_y);SetPoint(x-_x,y-_y);}}inline double GetRoundPartAngle(po a,po b,po c){double mx=a.x-b.x,my=a.y-b.y;double nx=c.x-b.x,ny=c.y-b.y;if(mx*ny-nx*my==0.0) return 0.0;double ans=acos((mx*nx+my*ny)/(dist(a,b)*dist(c,b)));return pi-ans;}inline void work(){int pos=1;for(int i=2;i<=tot;i++)if(a[pos].y>a[i].y)pos=i;else if(a[pos].y==a[i].y)if(a[pos].x>a[i].x)pos=i;swap(a[1],a[pos]);sort(a+2,a+tot+1,cmp);st[++top]=1;st[++top]=2;for(int i=3;i<=tot;st[++top]=i++)while(top>2&&xmul(a[st[top-1]],a[st[top]],a[i])<=0)top--;double ans=dist(a[1],a[st[top]]);for(int i=1;i<top;i++)ans+=dist(a[st[i]],a[st[i+1]]);ans+=r*GetRoundPartAngle(a[st[top]],a[1],a[2]);ans+=r*GetRoundPartAngle(a[st[top-1]],a[st[top]],a[1]);for(int i=2;i<top;i++)ans+=r*GetRoundPartAngle(a[st[i-1]],a[st[i]],a[st[i+1]]);printf("%.2lf\n",ans);}int main(){freopen("card.in","r",stdin);freopen("card.out","w",stdout);init();work();return 0;}