九度OJ 1531：货币面值

题目描述：

小虎是游戏中的一个国王，在他管理的国家中发行了很多不同面额的纸币，用这些纸币进行任意的组合可以在游戏中购买各种装备来提升自己。有一天，他突然很想知道这些纸币的组合不能表示的最小面额是多少，请聪明的你来帮助小虎来解决这个财政问题吧。

输入：

输入包含多个测试用例，每组测试用例的第一行输入一个整数N（N<=100）表示流通的纸币面额数量，第二行是N个纸币的具体表示面额，取值[1，100]。

输出：

对于每组测试用例，输出一个整数，表示已经发行的所有纸币都不能表示的最小面额（已经发行的每个纸币面额最多只能使用一次,但面值可能有重复）。

样例输入：

51 2 3 9 10051 2 4 9 10051 2 4 7 100

样例输出：

7815

解题思路：

1、动态规划

先对输入的数组按照从小到大的顺序排序，然后令dp[i]表示前i种货币不能兑换的最小面值，下面分两种情况讨论怎么求出dp[i]，（1）如果value[i]的值大于dp[i-1]，则表示从dp[i-1]到value[i]-1之前的面值是没有办法表示的，所以可以直接返回结果；（2）如果value[i]的值不大于dp[i-1]，由于前面i-1种货币可以组成从1到dp[i-1] - 1的所有面值，所以加上value[i]之后可以组成从1到dp[i-1] - 1 + value[i]的所有值，所以dp[i] = dp[i-1] + value[i]。

附上动态规划的AC代码：

#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;int input[110];int dp[110];int main(){int n,t;//freopen("1.txt","r",stdin);while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d",&input[i]);}sort(input,input+n);dp[0] = 1;int res = 0;for(int i = 1;i <= n; i++){if(input[i] > dp[i-1]){res = dp[i-1];break;}else{dp[i] = input[i] + dp[i-1];}}if(res == 0)res = dp[n];printf("%d\n",res);}return 0;}

2、0-1背包

令dp[i][j]表示前i种货币中可以表示的不超过j的最大的数，可以得到状态转移方程为dp[i][j] = max{ dp[i-1][j] , dp[i-1][j - value[i]] + value[i]}。状态转移方程表示的意思是前i个数表示的不超过j的数要么来自前i-1个数可以表示的最大的不超过的j的数，要么来自前i-1个数中不超过j - value[i]的数加上value[i]的值。dp[i][j]取两者中较大者。

附上使用0-1背包问题解法的AC代码：

#include <stdio.h>#include <memory.h>const int N = 110;int arr[N];int dp[N][10010];int Max(int a,int b){if(a > b)return a;elsereturn b;}int main(){int n;//freopen("1.txt","r",stdin);while(scanf("%d",&n)!=EOF){int max = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d",&arr[i]);max += arr[i];}memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = arr[i]; j <=max; j++){dp[i][j] = Max(dp[i-1][j],dp[i-1][j - arr[i]] + arr[i]);}for(int j = 0; j<arr[i]; j++){dp[i][j] = dp[i-1][j];}}int res = 0;max += 10;//扩大范围，随便加一个正数即可for(int i = 0; i <= max; i++){if(dp[n][i] != i){res = i;break;}}printf("%d\n",res);}return 0;}

3、还是0-1背包

上面的0-1背包问题可以简化，从而使用更小的空间，熟悉背包问题的同学应该都知道怎么优化，那就直接附上代码吧。

#include <stdio.h>#include <memory.h>const int N = 110;int arr[N];int dp[10010];int Max(int a,int b){if(a > b)return a;elsereturn b;}int main(){int n;//freopen("1.txt","r",stdin);while(scanf("%d",&n)!=EOF){int max = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d",&arr[i]);max += arr[i];}memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = max; j >= arr[i]; j--){dp[j] = Max(dp[j],dp[j - arr[i]] + arr[i]);}}int res = 0;max += 10;for(int i = 0; i <= max; i++){if(dp[i] != i){res = i;break;}}printf("%d\n",res);}return 0;}