POJ 3613

题意：在无向图中有n条边，现在给出你一个起点S和一个终点E，让你求从S到E经过且仅K条边的最短路径。注意此题中K远大于n，如果K小于n的话直接一边广搜就过了，第一次没注意到这个条件敲了一个BFS，结果WA了。

思路：此题正解应该是矩阵乘法，但是重定义了，区别于线性代数里面的乘法（其实可以看出无论哪种定义，只要能推出矩阵在该定义下满足交换律即可，因为可以用快速幂来加速）。设原图G对应的邻接矩阵为M，则M的k次幂中M[i][j]就表示从i点到j点经过k条边路径的个数！那么只需要重新定义一下矩阵乘法：M[i][j]表示从i点到j点的的最短路径长度，即M[i][j] = min(M[i][j],M[i][k]+M[k][j])(这个就是floyd算法的核心，DP思想)，可以证明该定义满足交换律，因此可以用快速幂，考虑M^2,它表示从i到j经过2条边的最短路径，同理推出M^n表示从i到j经过n条边的最短路径，因此本题得解。关于矩阵乘法的应用是参考2008年国家集训队论文《矩阵乘法在信息学中的应用》（俞华程）中看到的，网上此题解法大都参考该论文，在网上看了别人解释的没怎么看懂，直接看论文去了，发现论文里面讲的很明白也很透彻，但是经过别人转述意思可能就不一样了，其实我也说的不怎么清楚，所以建议直接去看论文。

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#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define MAXN 111using namespace std;class Matrix{    public:        int m[MAXN][MAXN];        Matrix(){            memset(m, -1, sizeof(m));        }};int N = 0;Matrix mtMul(Matrix A, Matrix B){    Matrix tmp;    for(int i = 0;i < N;i ++)        for(int j = 0;j < N;j ++)            for(int k = 0;k < N;k ++){                if(A.m[i][k] == -1 || B.m[k][j] == -1) continue;                int temp = A.m[i][k] + B.m[k][j];                if(tmp.m[i][j] == -1 || tmp.m[i][j] > temp) tmp.m[i][j] = temp;            }    return tmp;}Matrix mtPow(Matrix A, int k){    if(k == 1) return A;    Matrix tmp = mtPow(A,  k >> 1);    Matrix res = mtMul(tmp, tmp);    if(k & 1) res = mtMul(res, A);    return res;}int main(){    int cnt[1111];    int n, t, s, e;    int u, v, w;    /* freopen("in.c", "r", stdin); */    while(~scanf("%d%d%d%d", &n, &t, &s, &e)){        N = 0;        Matrix G;        memset(cnt, -1, sizeof(cnt));        for(int i = 0;i < t;i ++){            scanf("%d%d%d", &w, &u, &v);            if(cnt[u] == -1) cnt[u] = N++;            if(cnt[v] == -1) cnt[v] = N++;            G.m[cnt[u]][cnt[v]] = w;            G.m[cnt[v]][cnt[u]] = w;        }        Matrix tmp = mtPow(G, n);        printf("%d\n",tmp.m[cnt[s]][cnt[e]]);    }    return 0;}