数据结构（三）：图

一. 图的基本概念

二. 图的存储结构

三. 图的遍历

四. 最小生成树

一. 图的基本概念

        在图形结构中，每个元素可以有零个或多个前驱节点，也可以由零个或多个后继节点。图由顶点和边构成，记为G=(V，E)，V代表顶点集合，E代表边集合。无向图：边没有方向，顶点i和顶点j的无向边用圆括号表示，即（i，j）有向图：边有方向，顶点i和顶点j的有向边用尖括号表示，即<i，j>。

图术语：

1. 邻接点：一条无向边（i，j），i与j为该边的两个端点，并称他们互为邻接点。
2. 出边，入边：在有向图中，边<i，j>，称此边为i的出边，j的入边，i，j分别为起始端点和终止端点，顶点i是j的入边邻接点，顶点j是i的出边邻接点。
3. 度：无向图中，某顶点所具有的边的数目称为度；在有向图中，顶点i的度又分为出度和入度，以顶点i为终点的入边的数目，称为顶点i的入度，反之，称为出度。
4. 完全图：无向图中每两个顶点之间都存在一条边；有向图中每两个顶点都存在着方向相反的两条边，称为完全图。
5. 子图：设两个图G=（V,E），G1=（V1,E1）若V1包含于V，E1包含于E，那么就称G1为G的一个子图。
6. 路径：从顶点i到顶点j的一条路径即一个顶点的序列（i，i1，i2，...，im）
7. 路径长度：一条路径上所经过边的数目。
8. 回路或环：若一条路径上的开始节点和结束节点都为同一个节点，则称次路径为一个回路或环。
9. 连通/连通图/连通分量：在无向图中，若顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和顶点j是连通的。若图中任何两个顶点都连通，则称G为连通图，否则为非连通 图。无向图中的极大连通子图称为G的连通分量。显然，任何连通图的连通分量只有一个即本身，二非连通图有多个连通分量。有向图同理。
10. 权：每一条边上的数值。
11. 网：边上带有权的图称为网。

注意：

• 完全无向图有n（n-1）/2条边，完全有向图有n（n-1）条边。
• 一个图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍。

 二. 图的存储结构

        图除了存储本身的顶点信息外，还需要存储各顶点之间的联系。常用的有邻接矩阵和邻接表两种方法。

2.1 邻接矩阵存储

        这时候又分为不带权无向图，带权无向图，不带权有向图，带权有向图四种情况。

• 当为无向图，不带权时，若顶点i，j有边相连，A[i][j] = 1，无边为0.
• 当为有向图，不带权时，若顶点i，j有边相连，A[i][j] = 1，无边为0；
• 当为无向图，带权时，若顶点i，j有边相连，A[i][j] = 权值，若i==j，A[i][j] = 0，否则A[i][j] = 特殊值。
• 当为有向图，带权时，若顶点i，j有边相连，且边为i指向j，A[i][j] = 权值，若i==j，A[i][j] = 0，否则A[i][j] = 特殊值。

例如：

图1

图2

邻接矩阵分别为：

图1

图2

邻接矩阵特点：

1. 图的邻接矩阵的表示是唯一的。
2. 存储空间为O（n^2）
3. 无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。
4. 对于无向图，邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素（或非’#’元素）的个数正好是顶点i的度。对于有向图，邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素（或非’#’元素）的个数正好是顶点i的出度（入度）。

优缺点：容易确定顶点之间的关联。但是要确定图中有多少条边，则必须对每个元素进行检测，花费的代价很大。

    
 2.2 邻接表存储

       是一种顺序分配与链式分配相结合的存储方法。为每一个节点建立一个单链表，第 i 个节点的单链表中的节点表示依附于顶点 i 的边，每一个单链表上附设一个表头节点，将所有的表头节点构成一个表头结点数组。

边节点结构：

Adjvex指示与顶点i邻接的顶点编号 nextarc表示指向下一条边的节点。Info存储与边相关的信息，如权值等等。

表头节点结构：

Data存储顶点i对应的名称或者其他信息。Firstarc指向对应顶点i的链表中第一个边界点。

例如：

邻接表为：

邻接表的特点：

1. 邻接表表示不唯一。
2. 对于有n个节点和e条边的无向图来说，其邻接表有n个表头结点和2e个边节点；对于有n个顶点和e条边的有向图来说，其邻接表有n个表头节点和e个边节点。
3. 对于无向图来说，邻接表的顶点对应的i号链表的边节点的个数正好是顶点i的度。
4. 对于有向图来说，邻接表的顶点对应的i号链表的边节点的个数正好是顶点i的出度。 

优缺点：

对于边数较少的稀疏图，邻接表比邻接矩阵节省空间。

三. 图的遍历
 图的遍历方式分为：深度优先遍历与广度优先遍历。

       图的遍历沿着图中的一条路径访问过某一顶点后，还可能会沿着另一条路径回到该顶点，即存在回路。为了避免同一个顶点被重复访问，设置一个访问标志数组visited[]，当顶点被访问过时，数组中的visited[]置1，否则还是为0。

3.1 深度优先遍历： 

       从图中某个顶点出发，首先访问顶点v，然后选择一个与顶点v相邻且没有被访问过的顶点w为初始节点，，再从w出发进行深度优先遍历，这是个递归过程。

例如：

访问序列为01243，或者03241

3.2 广度优先遍历：

       首先访问初始顶点v，接着访问顶点v的所有未被访问过的邻接点v1,v2，..，vt，然后再按v1，v2，...，vt的顺序，访问每一个顶点的所有的未被访问过的邻接点。

例如：

访问序列为：01324或者03124.

四. 最小生成树

        构造最小生成树的准则有3条：

1. 必须使用该图的边来构造最小生成树。
2. 必须使用且仅使用n-1条边来连接图中的n个顶点。
3. 不能使用产生回路的边。

求最小生成树的两种算法：普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。

4.1 普利姆算法：

设图G=（V,E），T=（U,TE）是图G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是E的边集。

1. 初始化U={v}，以v到其他顶点的所有边为候选边。
2. 重复一下步骤（n-1）次，使得其他（n-1）个顶点被加入到U中；

            ①从候选边中挑选权值最小的边加入TE，设该边在V-U中的顶点是k将k加入到U中。

            ②考察当前V-U中的所有顶点j，修改候选边，若边（k，j）的权值小于原来和顶点j关联的候选边，则用边（k，j）取代后者作为候选边。

例如：

图1

图2

图3

图4

图5

图6

4.2 克鲁斯卡尔算法：

设图G=（V,E），T=（U,TE）是图G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是E的边集。

1. 置U的初值为V，即U包含V的全部顶点。TE的初值为空值。
2. 将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取，若选取的边未使生成树T形成回路，则加入TE，否则舍弃，直到TE中包含n-1条边为止。

例如：

图1

图2

图3

图4

图5

图6