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球坐标

来源：互联网发布：别人的淘宝账号怎么看编辑：程序博客网时间：2024/04/27 16:22

原帖：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB

球坐标系[编辑]

（重定向自球坐标系）

用球坐标

(r,\ \theta,\ \phi)

来表示一个点的位置

在数学里，球坐标系（英语：Spherical coordinate system）是一种利用球坐标 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 表示一个点 p 在三维空间的位置的三维正交坐标系。

右图显示了球坐标的几何意义：原点与点 P 之间的径向距离 $r$ ，原点到点 P 的连线与正 z-轴之间的天顶角 $\theta$ ，以及原点到点 P 的连线，在 xy-平面的投影线，与正 x-轴之间的方位角 $\phi$ 。

目录

1 标记
2 定义
3 坐标系变换
- 3.1 直角坐标系
- 3.2 地理坐标系
- 3.3 圆柱坐标系
- 3.4 标度因子
4 球坐标系下的积分和微分公式
5 应用
6 参阅

标记[编辑]

在学术界内，关于球坐标系的标记有好几个不同的约定。按照国际标准化组织建立的约定（ISO 31-11），径向距离、天顶角、方位角，分别标记为 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 。这种标记在世界各地有许多使用者。通常，物理界的学者也采用这种标记。而在数学界，天顶角与方位角的标记正好相反： $\phi$ 被用来代表天顶角， $\theta$ 被用来代表方位角。数学界的球坐标标记是 $(\rho,\ \phi,\ \theta)$ 。这种标记的优点是较广的相容性；在二维极坐标系与三维圆柱坐标系里， $\rho$ 都同样地代表径向距离， $\theta$ 也都同样地代表方位角。本条目采用的是物理标记约定。

定义[编辑]

球坐标系的几个坐标曲面。红色圆球面的

r=2

。蓝色圆锥面的

\theta=45^{\circ}

。黄色半平面的

\phi= - 60^{\circ}

（黄色半平面与 xz-半平面之间的二面角角度是

\left|\phi\right|

）。 z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示）。直角坐标大约为

(0.707, -1.225, 1.414)

。

假设 P 点在三维空间的位置的三个坐标是 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 。那么， 0 ≤ r 是从原点到 P 点的距离， 0 ≤ θ ≤ π 是从原点到 P 点的连线与正 z-轴的夹角， 0 ≤ φ < 2π 是从原点到 P 点的连线在 xy-平面的投影线，与正 x-轴的夹角。

这里， $\theta$ 代表天顶角， $\phi$ 代表方位角。当 $r=0$ 时， $\theta$ 与 $\phi$ 都一起失去意义。当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 时， $\phi$ 失去意义。

如想要用球坐标，找出点 P 在空间的地点，可按照以下步骤：

从原点往正 z-轴移动 $r$ 单位，
用右手定则，大拇指往 y-轴指，x-轴与 z-轴朝其他手指的指向旋转 $\theta$ 角值，
用右手定则，大拇指往 z-轴指，x-轴与 y-轴朝其他手指的指向旋转 $\phi$ 角值。

坐标系变换[编辑]

三维空间里，有各种各样的坐标系。球坐标系只是其中一种。球坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。

直角坐标系[编辑]

更多资料：直角坐标系

使用以下方程式，可以从球坐标变换为直角坐标：

{r}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

、

{\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)

、

{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)

。

特别注意，必须依照 $(x,\ y)$ 所处的象限来计算正确的反正切值。也可以使用arccos来计算方位角phi的值,这样在x为0的情况下比较方便,x为0时arctan(y/x)无效.

反过来，可以从直角坐标变换为球坐标：

x=r \sin\theta \cos\phi

、

y=r \sin\theta \sin\phi

、

z=r \cos\theta

。

地理坐标系[编辑]

更多资料：经纬度

地理坐标系是球坐标系的第二个版本。它主要是用在地理学。通常在地理学里， $\rho\,$ 会被用来表示高度，或者完全不被使用。

纬度的定义域是 $0^\circ \le \delta \le 90^\circ$ ，南纬或北纬。使用以下方程式，可从纬度 $\delta$ 变换为天顶角：

$\theta \le 90^\circ$ ：北纬， $\delta=90^\circ - \theta$ ，
$\theta \ge 90^\circ$ ：南纬， $\delta=\theta - 90^\circ$ 。

经度 $\lambda$ 的定义域是 $- 180^\circ \le \lambda \le 180^\circ$ 。设定经过伦敦格林维治天文台的子午线为经度 $0^\circ$ ，往东或往西 $\lambda$ 度。使用以下方程式，可从经度变换为方位角

$\phi\le 180^\circ$ ：往东， $\lambda=\phi$ ，
$\phi\ge 180^\circ$ ：往西， $\lambda=360^\circ - \phi$ 。

圆柱坐标系[编辑]

用圆柱坐标来表示一个点的位置

更多资料：圆柱坐标系

圆柱坐标系是极坐标系在三维空间往 z-轴的延伸。 $z$ 坐标用来表示高度。使用以下方程式，可以从球坐标变换为圆柱坐标 $(\rho,\ \phi,\ z)$ ：

r=\sqrt{\rho^2+z^2}

、

\theta=\arctan\frac{\rho}{z}

、

\phi=\phi

。

反过来，可以从圆柱坐标变换为球坐标：

\rho=r\sin\theta

、

\phi=\phi

、

z=r\cos\theta

。

标度因子[编辑]

球坐标系的标度因子分别为：

h_{r} =1

、

h_{\theta} =r

、

h_{\phi} =r\sin\theta

。

无穷小体积元素是

dV =r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi

。

拉普拉斯算子是

\nabla^2 \Phi={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial \Phi \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial \Phi \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2}

。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 、 $\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

球坐标系下的积分和微分公式[编辑]

假定 $\theta$ 是从原点到 P 点的连线与正 z-轴的夹角

线元素是一个从 $(r,\theta,\phi)$ 到 $(r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \phi+\mathrm{d}\phi)$ 的无穷小位移,表示为公式：

\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \mathrm{d}\phi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \phi}}

；

其中的 $\boldsymbol{\hat r},\boldsymbol{\hat\theta },\boldsymbol{\hat \phi}$ 是在 $r,\theta,\phi$ 的各自的增加的方向上的单位矢量。

面积元素1：在球面上，固定半径，天顶角从 $\theta$ 到 $\theta+\mathrm{d}\theta$ ，方位角从 $\phi$ 到 $\phi+\mathrm{d}\phi$ 变化，公式为：

\mathrm{d}S_r=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi

。

面积元素2：固定天顶角 $\theta$ ，其他两个变量变化，则公式为：

\mathrm{d}S_\theta=r\,\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\phi

。

面积元素3：固定方位角 $\phi$ ，其他两个变量变化，则公式为：

\mathrm{d}S_\phi=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta

。

体积元素，径向坐标从 $r$ 到 $r+\mathrm{d}r$ ，天顶角从 $\theta$ 到 $\theta+\mathrm{d}\theta$ ，并且方位角从 $\phi$ 到 $\phi+\mathrm{d}\phi$ 的公式为：

\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi

。

梯度公式：

\nabla f={\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}

。

散度公式：

\nabla\cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\phi \over \partial \phi}

。

旋度公式：

\nabla \times \mathbf{A} = \displaystyle{1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right) - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} + \displaystyle{1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + \displaystyle{1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right) - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi}

。

拉普拉斯算子是

\nabla^2 f={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}

。

应用[编辑]

地理坐标系用两个角值，纬度与经度，来表示地球表面的地点。正如二维直角坐标系专精在平面上，二维球坐标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是１。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。

球坐标系适用于分析一个对称于点的系统。举例而言，一个圆球，其直角坐标方程式为 $x^2+y^2+z^2=c^2$ ，可以简易的用球坐标系 $\rho =c$ 来表示。

当求解三重积分时，如果定义域为圆球，则面积元素是

dS=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi

；

体积元素是

dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi

。

用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题，最自然的坐标系，莫非是球坐标系。例如，一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式, 拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程，在球坐标里，都可以成功的使用分离变量法求得解答。这种方程式在角部分的解答，皆呈球谐函数的形式。

球坐标的概念，延伸至高维空间，则称为超球坐标 (n-sphere) 。

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