Algorithm学习笔记 --- 金明的预算方案

题目描述 Description

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件

附件

电脑

打印机，扫描仪

书柜

图书

书桌

台灯，文具

工作椅

无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：

v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中*为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入描述 Input Description

第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

N m

（其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数

v p q

（其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

输出描述 Output Description

只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）

样例输入 Sample Input

1000 5

800 2 0 

400 5 1

300 5 1

400 3 0

500 2 0

样例输出 Sample Output

2200

解题分析：

此题我第一次看到以为就是简单的01背包或者多维背包，后来做了几次都是WA，才静下心来好好审题，对于此题的一个研究点是，到底买的是主件还是附件，如果是主件，还买接下来的几个附件了，0个？1个？2个？（这里还好题里给出最多的是两个）如果是附件就得买相应的主件。

因此，此处多了几个条件：

W1=v[i]                              （只买主件）

W2=v[i]+v[q1[i]]                       （买主件和第一个附件）

W3=v[i]+v[q2[i]]                        （买主件和第二个附件）

W4=v[i]+v[q1[i]]+v[q2[i]]                （买主件和那两个附件）

然后

在动态转移方程的时候有一点是注意这里不是单一的dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

此处是重要度和价格的成绩。

因此此题的乘积相当于原背包的价值量，适当的更改就好。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define MAXN 3300
using namespace std;
int i, j, k;
int dp[MAXN];
int v[70], w[70], q[70];
int c[70][3], tw[5], tv[5], cnt;
int N, m;


void pack(int i)                                            //此处是捆绑函数，就是main函数中判断是主件的情况进入此函数
{
    if(c[i][0] == 0)                                        //是否买一个附件，下面以此类推
    {
        tv[1] = v[i];                                       //此处买的价格进行替换，下面以此类推，如果买多个就把价钱加起来
        tw[1] = v[i] * w[i];                                //此处为所说的重要度与价钱的乘积，下面以此类推
        cnt = 1;                                            //此处为一共买几个的个数，下面以此类推
    }
    else if(c[i][0] == 1)                                   //是否买两个附件
    {
        tv[1] = v[i];
        tw[1] = v[i] * w[i];
        tv[2] = v[i] + v[c[i][1]];
        tw[2] = v[i] * w[i] + v[c[i][1]] * w[c[i][1]];
        cnt = 2;
    }
    else                                                    //是否买三个主件
    {
        tv[1] = v[i];
        tw[1] = v[i] * w[i];
        tv[2] = v[i] + v[c[i][1]];
        tw[2] = v[i] * w[i] + v[c[i][1]] * w[c[i][1]];
        tv[3] = v[i] + v[c[i][2]];
        tw[3] = v[i] * w[i] + v[c[i][2]] * w[c[i][2]];
        tv[4] = v[i] + v[c[i][1]] + v[c[i][2]];
        tw[4] = v[i] * w[i] + v[c[i][1]] * w[c[i][1]] + v[c[i][2]] * w[c[i][2]];
        cnt = 4;
    }
}


int main()
{
        scanf("%d%d",&N,&m);                        //输入两个数，N总的钱数，m,总的物品个数
        memset(c,0,sizeof(c));                      //对c数组进行都为0的初始化
        for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&q[i]);      //依次输入每组的价格，重要度，主件还是附件
            if(q[i])                                //if(q[i]>0则为附件，q[i]=0为主件，
                                                    //if()语句中如果（）中的语句>0则成立,如果=0则不成立)
                c[q[i]][++c[q[i]][0]] = i;
        }


        memset(dp, 0, sizeof(dp));                  //将dp做赋值为0的初始化
        for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            if(q[i])
                continue;                           //此处同上
            pack(i);                                //如果买的是主件则进入附件捆绑函数进行判断
            //状态转移方程01背包
            for(j = N; j >= v[i]; j--)
            {
                for(k = 1; k <= cnt; k++)           //cnt代表一共买多少个东西
                {
                    if(j >= tv[k])
                        dp[j] = max(dp[j], dp[j-tv[k]] + tw[k]);    //此处用tw[k]每件的价钱与重要度的成绩，替换经典转换方程中的value[];
                }
            }
        }
        cout<<dp[N];
    return 0;
}