字符串匹配(string matching)算法之二：利用有限自动机

上一篇：字符串匹配(string matching)算法之一 (Naive and Rabin_Karp)

有限自动机:

一个有限自动机M是一个5元组(Q, q₀, A, Σ, δ), 其中:

·         Q是状态的有限集合

·         q₀ ∈ Q 初始状态

·         A ⊆ Q 是一个接受状态的集合

·         Σ 有限的输入字母表

·         δ 是从Q × Σ 到Q的函数, 称为M的转移函数(transition function )

有限自动机开始于状态q₀,每次读入输入字符串的一个字符.

如果在状态q时读入输入字符a,则它从状态q变为δ(q, a).

当其当前状态q属于(接受状态的集合)A时, 则说自动机M接受了迄今为止所读入的字符串.

没有被接受的输入称为被拒绝的输入.

有限自动机M可以推导出一个函数φ， 称为终态函数。φ(w)是M在扫描字符串w后终止时的状态。

φ(ε)

=

q₀,

φ(wa)

=

δ(φ(w), a) for w ∈ Σ*, a ∈ Σ.

因此， M接受字符串w当且仅当φ(w) ∈ A

 

字符串匹配自动机

给定模式P[1 ‥ m], 定义辅助函数σ数相应P的后缀函数.

函数σ是一个从Σ*到{0, 1, . . . , m}上的映射:

σ(x)是x的后缀且是p的最长前缀的长度.

σ(x) is the length of the longest prefix of P that is a suffix of x:

σ(x) = max {k : P_k ⊐ x}.

例如模式P = ab, σ(ccaca) = 1, and σ(ccab) = 2

对一个长度为m的模式P来说, σ(x) = m 当且仅当 P ⊐ x (P是x的后缀).

给定模式P[1..m], 其对应的字符串匹配自动机的定义如下:

l        状态集Q为{0, 1, …, m}, 初始状态q₀, 状态m是唯一的接受状态.

l        对任意的状态q和字符a, 变迁函数δ的定义为: δ(q, a) = σ(P_qa). (其中P_q是P的前缀P[1..q])

也就是把状态q设为当前已匹配的长度.

例如模式P=ababaca.   文本T=abababacaba.

有δ(5, b) = 4, 如果从状态q=5时自动机读入一个b, 则P_qb=ababab, 于是ababab的后缀匹配P的最长前缀为P₄ = abab.

（The longest prefix of P that is also a suffix of ababab is P₄  = abab）

 

//字符串匹配自动机

FINITE-AUTOMATON-MATCHER(T, δ, m)

1  n ← length[T]

2  q ← 0

3  for i ← 1 to n

4      do q ← δ(q, T[i])    //δ函数其实是一张表，预先计算出所有值，需要时查询

5         if q = m

6            then print "Pattern occurs with shift" i – m

匹配时间复杂度Θ(n).

//下面计算出δ函数

COMPUTE-TRANSITION-FUNCTION(P, Σ)

1 m ← length[P]

2 for q ← 0 to m

3     do for each character a ∈ Σ

4            do k ← min(m + 1, q + 2)

5               repeat k ← k - 1

6                 until Pk ⊐ Pqa

7               δ(q, a) ← k

8 return δ

时间复杂度O(m3 |Σ|)..还存在更快的过程。

 

附录:

用Σ* 表示用字母表Σ中的所有有限长度的字符串的集合

长度为0的空字符串用ε表示，ε也属于Σ*

字符串前缀  后缀

如果某个字符串 y ∈ Σ*，使得x＝wy ，则称w是x的前缀, 记为w ⊏ x 。 如果w是x的后缀，记为w ⊐ x

《Introduction to Algorithms》- CLRS