矩阵连乘问题（C++）

Description

给定n个矩阵{A0,A1,…,An-1}， 其中Ai，i=0,…,n-1的维数为pi*pi+1，并且Ai与Ai+1是可乘的。考察这n个矩阵的连乘积A0A1…An-1，由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可有许多不同的计算次序。矩阵连乘问题是确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得按照这一次序计算矩阵连乘积，需要的“数乘”次数最少。Input第一行输入n的值，第二行输入n个矩阵的维数pi（i=0，…，n）。Output最少乘法次数。

Sample Input

6

30 35 15 5 10 20 25

Sample Output

15125

Source

矩阵连乘算法算是经典的动态规划算法的问题(Dynamic Programming)（明显的具有最优子结构和重叠子问题的特点，证明略）。既然是动态规划问题，那很明显是用到了数组来存储子结构的解。

我们这里主要用到两个数组，一个是p数组，这是一维数组，存储着矩阵的维数，因为相邻两边的矩阵维数默认相同，对于n个矩阵来说，只需n+1个空间即可存储。

还有一个是m数组，这是一个二维数组m，m[i][j]是表示第i个矩阵和第j个矩阵相乘的计算次数。那么m[i][i]理所当然就是0啦，因为是自己乘自己。

如果i不等于j的话，我们就来一个递归的操作：设一个中间值k，i<=k<j，则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1]}（因为这个值是不停地比较产生的，所以需要去所有情况的最小值）这样就形成了一个类似于上三角的矩阵来表示递推计算次序：

右上角的是最终我们需要求的值，即是m[0][n-1]，代码实现如下：

#include <iostream>using namespace std;void Mchain(int *p,int m[][100],int n)//计算将m矩阵数字填满 {for(int r=2;r<=n;r++){for(int i=0;i<=n-r;i++){int j=i+r-1;m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i]*p[i+1]*p[j+1];for(int k=i+1;k<j;k++){int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1];if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;}}}}}int main(){int n;int p[100],m[100][100];cin>>n;for(int i=0;i<=n;i++){cin>>p[i];}for(int i=0;i<n;i++){m[i][i]=0;//矩阵自身相乘计算次数为0 }Mchain(p,m,n);cout<<m[0][n-1]<<endl;return 0;}