Baumwelch 算法训练HMM

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学习问题

在HMM模型中，已知隐藏状态的集合S，观察值的集合O，以及一个观察序列（o₁,o₂,...,o_n），求使得该观察序列出现的可能性最大的模型参数（包括初始状态概率矩阵π，状态转移矩阵A，发射矩阵B）。这正好就是EM算法要求解的问题：已知一系列的观察值X，在隐含变量Y未知的情况下求最佳参数θ*，使得：

在中文词性标注里，根据为训练语料，我们观察到了一系列的词（对应EM中的X），如果每个词的词性（即隐藏状态）也是知道的，那它就不需要用EM来求模型参数θ了，因为Y是已知的，不存在隐含变量了。当没有隐含变量时，直接用maximum likelihood就可以把模型参数求出来。

预备知识

首先你得对下面的公式表示认同。

以下都是针对相互独立的事件，

P(A,B)=P(B|A)*P(A)

P(A,B,C)=P(C)*P(A,B|C)=P(A,C|B)*P(B)=P(B,C|A)*P(A)

P(A,B,C,D)=P(D)*P(A,B|D)*P(C|A)=P(D)*P(A,B|D)*P(C|B)

P(A,B|C)=P(D1,A,B|C)+P(D2,A,B|C)     D1,D2是事件D的一个全划分

理解了上面几个式子，你也就能理解本文中出现的公式是怎么推导出来的了。

EM算法求解

我们已经知道如果隐含变量Y是已知的，那么求解模型参数直接利用Maximum Likelihood就可以了。EM算法的基本思路是：随机初始化一组参数θ⁽⁰⁾，根据后验概率Pr(Y|X;θ)来更新Y的期望E(Y)，然后用E(Y)代替Y求出新的模型参数θ⁽¹⁾。如此迭代直到θ趋于稳定。

在HMM问题中，隐含变量自然就是状态变量，要求状态变量的期望值，其实就是求时刻t_i观察到x_i时处于状态s_i的概率，为了求此概率，需要用到向前变量和向后变量。

向前变量

向前变量 是假定的参数

它表示t时刻满足状态，且t时刻之前（包括t时刻）满足给定的观测序列的概率。

1. 令初始值
2. 归纳法计算
3. 最后计算

复杂度

向后变量

向后变量               

它表示在时刻t出现状态，且t时刻以后的观察序列满足的概率。

1. 初始值
2. 归纳计算

E-Step

定义变量为t时刻处于状态i，t+1时刻处于状态j的概率。

        

定义变量表示t时刻呈现状态i的概率。

实际上       

    

 

是从其他所有状态转移到状态i的次数的期望值。

是从状态i转移出去的次数的期望值。

是从状态i转移到状态j的次数的期望值。

M-Step

是在初始时刻出现状态i的频率的期望值，

是从状态i转移到状态j的次数的期望值  除以  从状态i转移出去的次数的期望值，

是在状态j下观察到活动为k的次数的期望值  除以  从其他所有状态转移到状态j的次数的期望值,

 

然后用新的参数再来计算向前变量、向后变量、和。如此循环迭代，直到前后两次参数的变化量小于某个值为止。