理解傅立叶变换的本质——背景篇

在电子通信专业的课程中，傅立叶变换一直是重头戏。傅立叶变换到底是什么呢？通常我们看待一个信号，是从时域的角度去观察的，即观察信号值与时间的关系；而傅立叶变换给了我们另一个观察信号的角度，即我们可以从频域的角度来观察信号。这是对信号本质的另一种理解。我们可以把信号分解成不同频率的正弦波之和，在时域中我们观察信号幅度与时间的关系，而在频域中我们观察信号幅度与正弦波频率的关系。需要说明的是时域也好，频域也好，都只是观察信号本质的一个窗口，它们是对同一事物的不同描述。说不定某天我们还能想出别的观察窗口，来更好的理解信号本质。

 读者可能会问两个问题：1.为什么我们要从频域观察信号呢？时域窗口直观，好理解，为什么我们还要用频域这一反人性的概念呢？  2. 频域是将信号拆分成多个（可以是无穷个）的正弦波来分析的，特指的是正弦波的频率，那么把信号拆分成多个方波行不行？三角波呢？

首先回答第一个问题，之所以我们提出频域概念，从频域角度来观察信号，是为了方便计算与表示信号而用，也就是说用频域来描述一个信号，有时比时域来描述要方便的多，举例子来说，对于信号X(t) = sinw₀t+sin2w₀t，我们用示波器观察它的显示，会发现它很乱，不干净，我们不大能够一下子从图中看出它的信号本质，而如果我们用频谱仪观察它，它会很简洁哦。这是从描述信号方便性来说，用频域观察的好处，当然不是所有信号都是频域看起来简洁，而时域看起来复杂的，也有很多是相反的。仅仅从描述信号简洁性来说，读者很可能认为这有些小题大做了，对此，我深以为然。不过引入频域的概念还给了我们一个不能拒绝的好处…… 在信号与系统这么课中，我们着重讲了线性时不变系统，为什么着重讲这个系统呢？当然是因为这种系统最简单了！另外实际生活中，很多不是线性时不变的系统都可以近似用线性时不变系统代替。而线性时不变系统，有一个最基本的推论，即对于信号x(t)，当它经过一个线性时不变系统后，它的输出y(t)=x(t)*h(t)（*表示卷积运算，别认为是乘法了。。。我这里以连续信号举例），其中h(t)是系统的单位冲击响应。读者可以看到这里存在一个卷积运算了，这种运算是十分讨厌的，相信跟它打过交道的读者都能感同身受吧。这里我们不详述卷积的运算过程了。有读者可能会好奇，为啥是卷积呢？那个h(t)又是啥东西呢？关于这两个问题我曾经也好奇过，其实很多信号与系统书上开始就会证明这个东西，但我们通常会漏掉，读者感兴趣可以去看看它的证明过程。好了，说了那么多废话，还是没说那个引入频域后给我们带来的不能拒绝的好处。。。一句话，时域卷积对应于频域乘积（这可能是数学的巧合，也可能是傅立叶同学下的一盘很大的棋）。一个信号经过线性时不变系统后，如果从时域角度观察，它是要经过卷积运算了，而如果从频域角度观察这件事情，它仅仅做了乘法。这就是我所谓的不能拒绝的好处，乘法运算太简单了！卷积运算太麻烦了！

接下来，回答第二个问题，我们当然可以把信号拆分成多个方波的组合，并且以方波的频率来定义频域（这句话很抽象，我也不知道为啥我要写这句自己都不大看得明白的话），但是正弦波的好处很直观，对它积分和微分它的形状都没变，仅仅在幅度和相角上发生了变化（幅度和相角那都不是事），这就是为什么我们说的频域，是将信号拆分成正弦波，而不是方波，三角波还有另外一些不入流的波。

傅立叶变换本质上是一种映射关系，对于不同的信号，傅立叶变换是不同的，根据信号在时域上的特征，可以将信号分成4类：

1. 连续周期信号 2. 连续非周期信号 3. 离散周期信号 4.离散非周期信号。

在下一篇中，我将介绍下这四种傅立叶变换之间的关系。