[BZOJ1041][HAOI2008][数学乱搞]圆上的整点

[Problem Description]

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

[Algorithm]

数学乱搞

[Analysis]

题目倒是很简洁明了……但是有点让人无从下手

我们一步一步来分析：

首先写出式子 X ^ 2 + Y ^ 2 = R ^ 2

移项 Y ^ 2 = R ^ 2 - X ^ 2

          = (R + X)(R - X)

设 d = GCD(R + X, R - X)

则 Y ^ 2 = d ^ 2 * (R + X) / d * (R - X) / d

设 A = (R + X) / d, B = (R - X) / d

则 A != B 且 GCD(A, B) = 1

且 Y ^ 2 = d ^ 2 * A * B

由于Y ^ 2 是完全平方数, d ^ 2也是完全平方数, 而A, B互质，所以A, B都是完全平方数

设 A = a ^ 2, B = b ^ 2

则 a ^ 2 + b ^ 2 = 2 * R / d

说明 d 是 2 * R 的因数，以此可以在[1, sqrt(2 * R)]的范围内枚举i，当2 * R % i == 0时，i 和 2 * R / i都是2 * R 的因数。确定 2 * R / d 的值，假设a < b，我们再在[1, sqrt((2 * R / d) / 2)]的范围内枚举a, 算出对应的 A, b, B， 如果A, B都是完全平方数而且 A != B, GCD(A, B) == 1则方案数加1。这是一个象限的方案数，最后再* 4 再加上坐标轴上的4个即可

[Pay Attention]

用long long啊用long long！

注意以后求勾股数相关的都可以利用这里推出的结论……

[Code]

/**************************************************************    Problem: 1041    User: gaotianyu1350    Language: C++    Result: Accepted    Time:80 ms    Memory:1284 kb****************************************************************/ #include <cstdio>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std; const long long INF = 2000000000;long long ans = 0;long long r; long long gcd(long long a, long long b){    return !b ? a : gcd(b, a % b);} void solve(long long left){    long long temp = (int) sqrt(left / 2);    for (long long a = 1; a <= temp; a++)    {        long long A = a * a;        long long B = left - A;        long long b = (int)sqrt(B);        if (b * b == B && gcd(A, B) == 1 && A != B)            ans++;    }} int main(){    scanf("%lld", &r);    long long tar = (int)sqrt(2 * r);    for (long long i = 1; i <= tar; i++)        if (2 * r % i == 0)        {            solve(2 * r / i);            solve(i);        }    printf("%lld\n", ans * 4 + 4);}