VC维

有关于VC维可以在很多机器学习的理论中见到，它是一个重要的概念。在读《神经网络原理》的时候对一个实例不是很明白，通过这段时间观看斯坦福的机器学习公开课及相关补充材料，又参考了一些网络上的资料（主要是这篇，不过个人感觉仍然没有抓住重点），重新思考了一下，终于理解了这个定义所要传达的思想。

　　先要介绍分散(shatter)的概念：对于一个给定集合S={x1, ... ,xd}，如果一个假设类H能够实现集合S中所有元素的任意一种标记方式，则称H能够分散S。

　　这样之后才有VC维的定义：H的VC维表示为VC(H) ，指能够被H分散的最大集合的大小。若H能分散任意大小的集合，那么VC(H)为无穷大。在《神经网络原理》中有另一种记号：对于二分总体F，其VC维写作VCdim(F)。

　　通常定义之后，会用二维线性分类器举例说明为什么其VC维是3，而不能分散4个样本的集合，这里也就是容易产生困惑的地方。下面进行解释。

　　对于三个样本点的情况，下面的S1所有的标记方式是可以使用线性分类器进行分类的，因此其VC维至少为3（图片来自于斯坦福机器学习公开课的materials,cs229-notes4.pdf）：

　　　　

　　虽然存在下面这种情况的S2，其中一种标记方式无法用线性分类器分类（图片来自于斯坦福机器学习公开课的materials,cs229-notes4.pdf）

　　　　　　　　　　

　　但这种情况并不影响，这是因为，上一种的S1中，我们的H={二维线性分类器}可以实现其所有可能标签情况的分类，这和S2不能用H分散无关。

　　而对于4个样本点的情况，我们的H不能实现其所有可能标签情况的分类（这是经过证明的，过程不详）如下图中某个S和其中一种标签分配情况：

　　

　　　　　　　　

　　可见，H={二维线性分类器}的VC维是3。

　　从这个解释过程可以看出，对于VC维定义理解的前提是先理解分散的定义。分散中的集合S是事先选定的，而VC维是能分散集合中基数（即这里的样本数）最大的。因此，当VC(H)=3时，也可能存在S'，|S'|=3但不能被H分散；而对于任意事先给定的S"，|S"|=4，H不能对其所有可能的标签分配方式进行分散。这里所谓“事先给定”可以看作其点在平面上位置已定，但所属类别未定（即可能是任意一种标签分配）。

问：

“但这种情况并不影响，这是因为，上一种的S1中，我们的H={二维线性分类器}可以实现其所有可能标签情况的分类，这和S2不能用H分散无关。”对这句话不是很理解，这里不在乎共线的情况，那为什么对于4个样本点的情况就特殊对待呢 ？

答：

3个点的情况，存在一种位置关系，使得它的所有标签分配方式（2^3=8种）都是二维线性分类器可分的，因此结论是VC维至少为3
即使存在另一种位置关系的某种标签分配方式不可分，也不影响这个结论
4个点的情况，对于任意的某个位置关系，都存在一种标签分配方式使得二维线性分类器不可分（第三个图中右边的图），一共是2^4=16种标签分配方式，不过为了举反例，只有两个图。如果还不理解，可以任意画一个4个点的图，总能找到一个标签分配方式使得二维线性分类器不可分
分散的概念可以再好好理解下