最长递增子序列

问题描述

找出一个数组中的最长递增子序列LIS(不一定连续，但顺序不能乱)，如数组arr={5， 6， 7， 1， 2， 8}，其最长递增子序列

为{5,6,7,8}，长度为4。

三种解法

动态规划

设以arr[i]结尾的最长递增子序列的长度为L[i],则L[j]={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] },然后找出L[]数组中的最大值即为LIS的长度。

int lis2(int arr[], int len)  {  cout<<sizeof(arr)/sizeof(arr[0])<<endl;    int *longest=new int[len];      for (int i=0; i<len; i++)          longest[i] = 1;        for (int j=1; j<len; j++) ////L[j]={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }{          for (int i=0; i<j; i++) {              if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1){ //注意longest[j]<longest[i]+1这个条件，不能省略。                  longest[j] = longest[i] + 1; //计算以arr[j]结尾的序列的最长递增子序列长度              }          }      }        int max = 0;      for (int j=0; j<len; j++) {          cout << "longest[" << j << "]=" << longest[j] << endl;          if (longest[j] > max) max = longest[j];  //从longest[j]中找出最大值      }  delete longest;longest=NULL;    return max;  } 

最长公共子序列

找出数组arr[]与排序后的arr[]数组的最长公共子序列（LCS）即为最长递增子序列。因为LCS算法复杂度为

O(len(A)*len(B)),所以该算法求LIS时间复杂度为O(n^2)。

动态规划求LCS算法简介：

两个序列Xi,Yj;

LCS[i,j]=0  when i=j=0;

LCS[i,j]=LCS[i-1][j-1]+1, when X[i]==Y[j]

LCS[i][j]=max{LCS[i-1][j],LCS[i][j-1]}， when X[i]!=Y[j]

int cmp(const void *a,const void *b){return *(int*)a-*(int *)b;}int lis4(int *a,int len){int result=0;int *tempArray=new int[len];//有序数组for(int i=0;i<len;i++)tempArray[i]=a[i];qsort(tempArray,len,sizeof(int),cmp);//排序//动态申请二维数组int **LCS=new int*[len+1];for(int i=0;i<len+1;i++)LCS[i]=new int[len+1];for(int i=0;i<len+1;i++)for(int j=0;j<len+1;j++)LCS[i][j]=0;for(int i=1;i<len+1;i++)//求LCS{for(int j=1;j<len+1;j++){if(a[i-1]==tempArray[j-1])LCS[i][j]=LCS[i-1][j-1]+1;else if(LCS[i-1][j]>LCS[i][j-1])LCS[i][j]=LCS[i-1][j];elseLCS[i][j]=LCS[i][j-1];}}result=LCS[len][len];delete []tempArray;for(int i=0;i<len;i++)delete []LCS[i];delete []LCS;return result;}

O(NlgN）算法

假设存在一个序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出来它的LIS长度为5。

用一个动态增长的数组B，B[i](i从1开始，最大为数组d的长度，当d是有序数组时。)表示当前对应长度为i的LIS的最小末尾，即所有的长度为i的递增序列arr中,B[i]=min{所有的arr[i]}，如长度为3的递增序列可以是{1,3,6}、{1,3,4}，则B[3]=4。这样数组B是一个有序序列。
下面一步一步试着找出它。

方法：遍历数组d，不断跟新数组B。当遍历到d[j]时，d中以d[j]结尾的最长递增子序列的长度一定是将d[j]插入B中的位置，因为B中记录了当前对应各个长度的最小末尾。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意，这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

代码如下（代码中的数组B从位置0开始存数据）：

<span style="font-weight: normal;">int lis3(int *array, int n)  //计算最长递增子序列的长度,计算B数组的元素,array[]循环完一遍后,B的长度len即为所求{  </span><span style="font-weight: normal;">    int *B=new int[n];    int len = 1; //B的初始长度     B[0] = array[0];      int i, pos = 0;        for(i=1; i<n; ++i)  //遍历数组array    {          if(array[i] > B[len-1]) //如果大于B中最大的元素，则直接插入到B数组末尾          {              B[len] = array[i];              ++len;          }          else          {              pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查找需要插入的位置              B[pos] = array[i];  //修改B[pos],</span><span style="color:#ff0000;">这里是修改不想一般的做插入操作</span><span style="font-weight: normal;">        }      }        return len;  }    //修改的二分查找算法，返回数组元素需要插入的位置。  int BiSearch(int *b, int len, int w)  {      int left = 0, right = len - 1;      int mid;      while (left <= right)      {          mid = left + (right-left)/2;          if (b[mid] > w)              right = mid - 1;          else if (b[mid] < w)              left = mid + 1;          else    //找到了该元素，则直接返回              return mid;      }      return left;//数组b中不存在该元素，则返回该元素应该插入的位置}</span>