UVA 10253 - Series-Parallel Networks（数论+计数问题+递推）

题目链接：10253 - Series-Parallel Networks

白书的例题。

这题也是需要把问题进行转化，一个并联可以分为几个串联，然后串联可以分成边。

如此一来，最后叶子结点种数会是n，问题转化为去分配叶子结点，使得总和为n。

书上有两种方法，一种直接去递归，利用组合数学的方式去计算答案。

一种是推出递推式：

设dp[i][j]为一共j个叶子结点的树，子树的叶子最多的为i个的情况。然后对于一颗树，枚举恰好包含i个叶子的子树为p棵，那么相当于从f[i]颗树中选出p棵树的方案数，是可重复选择的组合，组合数为：C(f[i] + p - 1, p)种，然后每种子树对应的情况数为dp[i - 1][j - p * i]

所以状态转移方程为dp[i][j] = sum{C(f[i] + p - 1, p) * d(i - 1, j - p * i)}，最后答案为dp[n - 1][n],注意边界的设定，详见代码

代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <algorithm>using namespace std;long long C(long long n, long long m) {    double ans = 1;    for (int i = 0; i < m; i++) {        ans *= n - i;    }    for (int i = 0; i < m; i++)    ans /= i + 1;    return (long long)(ans + 0.5);}const int N = 31;int n;long long f[N];long long dp[N][N];int main() {f[1] = 1;    for (int i = 0; i < N; i++) dp[i][0] = 1;    for (int i = 1; i < N; i++) {dp[i][1] = 1; dp[0][i] = 0;}    for (int i = 1; i < N; i++) {        for (int j = 2; j < N; j++) {            dp[i][j] = 0;            for (int p = 0; p * i <= j; p++) {            dp[i][j] += C(f[i] + p - 1, p) * dp[i - 1][j - p * i];            }        }        f[i + 1] = dp[i][i + 1];    }    while (~scanf("%d", &n) && n) {    printf("%lld\n", n == 1 ? 1 : 2 * f[n]);    }    system("pause");    return 0;}