匈牙利算法详解

 本文转自大牛博客：原文地址

二分图：若图G中的点可以分为X和Y两部分，且每部分内部无任何边相连，则称图G为二分图。

匹配：无公共点的边集合（可以想象一下结婚这个词汇）。

匹配数：边集中边的个数

最大匹配：匹配数最大的匹配。

这是一种用增广路求二分图最大匹配的算法。它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。 定义 未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。

 

交错路：设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

可增广路：两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。

 

 

流程图

 

伪代码：

bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路  {      while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)      {          if (j不在增广路上)          {              把j加入增广路;              if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)              {                  修改j的对应项为k;                  则从k的对应项出有可增广路,返回true;              }        }      }      则从k的对应项出没有可增广路,返回false;  }  

void 匈牙利hungary()  {      for i->1 to n      {          if (则从i的对应项出有可增广路)              匹配数++;      }      输出 匹配数;  }  

 

演示：

 

C实现（作者BYVoid）

#include <stdio.h>  #include <string.h>  #define MAX 102     long n,n1,match;  long adjl[MAX][MAX];  long mat[MAX];  bool used[MAX];     FILE *fi,*fo;     void readfile()  {      fi=fopen("flyer.in","r");      fo=fopen("flyer.out","w");      fscanf(fi,"%ld%ld",&n,&n1);      long a,b;      while (fscanf(fi,"%ld%ld",&a,&b)!=EOF)          adjl[a][ ++adjl[a][0] ]=b;      match=0;  }     bool crosspath(long k)  {      for (long i=1;i<=adjl[k][0];i++)      {          long j=adjl[k][i];          if (!used[j])          {              used[j]=true;              if (mat[j]==0 || crosspath(mat[j]))              {                  mat[j]=k;                  return true;              }          }      }      return false;  }     void hungary()  {      for (long i=1;i<=n1;i++)      {          if (crosspath(i))              match++;          memset(used,0,sizeof(used));      }  }     void print()  {      fprintf(fo,"%ld",match);      fclose(fi);      fclose(fo);  }     int main()  {      readfile();      hungary();      print();      return 0;  }  

Pascal实现（作者魂牛）

[delphi] view plaincopyvar    a:array[1..1000,1..1000] of boolean;    b:array[1..1000] of longint;    c:array[1..1000] of boolean;    n,k,i,x,y,ans,m:longint;     function path(x:longint):boolean;  var    i:longint;  begin    for i:=1 to n do    if a[x,i] and not c[i] then    begin      c[i]:=true;      if (b[i]=0) or path(b[i]) then      begin        b[i]:=x;        exit(true);      end;    end;    exit(false);  end;     procedure hungary;  var    i:longint;  begin    fillchar(b,sizeof(b),0);    for i:=1 to m do    begin      fillchar(c,sizeof(c),0);      if path(i) then inc(ans);    end;  end;     begin    fillchar(a,sizeof(a),0);    readln(m,n,k);    for i:=1 to k do    begin      readln(x,y);      a[x,y]:=true;    end;    ans:=0;    hungary;    writeln(ans);  end. 

ps:最近因为比赛，需要用到二分图，图论这东西好多要好好学的。