UVA 10312 - Expression Bracketing（数论+Catalan数）

题目链接：10312 - Expression Bracketing

题意：有n个x，要求分括号，判断非二叉表达式的个数。

思路：二叉表达式的计算方法就等于是Catalan数的，那么只要计算出总数，用总数减去二叉表达式个数，得到的就是非二叉表达式的个数。那么计算方法是什么呢。

看题目中的图，对于n = 4的情况，可以分为这几种情况来讨论：

四个1， 一个2两个1，一个3一个1，一个4，对应的情况数为1，3， 2， 1。

答案为f(1)^4 + 3 * f(2) * f(1)^2 + f(3) * f(1) + f(4)。

一种做法是把n去分解然后计算，但是显然这是不可行的，n最大为26，情况数太多了。

然后找题解，发现这个居然有公式，这个式子叫SuperCatalan数。

然后也有递推出来的解，设dp[n][2]，n表示还有n个子节点未分配，2表示0为最多分配n - 1个点，1为最多分配n个点，这样能保证子树都至少有两个节点，这样就是总情况了，直接用记忆化搜下去即可

代码：

公式解：

#include <stdio.h>#include <string.h>int n;long long Catalan[30], SuperCatalan[30];int main() {Catalan[1] = Catalan[2] = 1;for (int i = 3; i <= 26; i++) {Catalan[i] = Catalan[i - 1] * (4 * i - 6) / i; } SuperCatalan[1] = SuperCatalan[2] = 1; for (int i = 3; i <= 26; i++) {SuperCatalan[i] = (3 * (2 * i - 3) * SuperCatalan[i - 1] - (i - 3) * SuperCatalan[i - 2]) / i;}while (~scanf("%d", &n)) {printf("%lld\n", SuperCatalan[n] - Catalan[n]); }return 0;}

递推解：

#include <stdio.h>#include <string.h>int n;long long Catalan[30], dp[30][2];long long dfs(int n, int flag) {long long &ans = dp[n][flag];if (~ans) return ans;if (n <= 1) return ans = 1;ans = 0;for (int i = 1; i < n + flag; i++)ans += dfs(i, 0) *dfs(n - i, 1);return ans;}int main() {Catalan[1] = Catalan[2] = 1;for (int i = 3; i <= 26; i++) {Catalan[i] = Catalan[i - 1] * (4 * i - 6) / i; }while (~scanf("%d", &n)) {memset(dp, -1, sizeof(dp));printf("%lld\n", dfs(n, 0) - Catalan[n]); }return 0;}