01算法笔记——【递归】排列问题，整数划分问题，Hanoi问题

来源：互联网发布：mac制作手机铃声编辑：程序博客网时间：2024/06/16 04:32

递归的概念想必大家都清楚，概念神马的直接略过。这里介绍递归相关的几个问题。

1、排列问题

设R={r1,r2,...,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。集合x中元素的全排列记为Perm(X)。(ri)Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一个排列前加上前缀ri得到的排列。R的全排列可归纳如下：

当n=1时，Perm(R)=(r)，其中r是集合中唯一的元素；

当n>1时，Perm(R)由(r1)Perm(R1),(r2)Perm(R2),(r3)Perm(R3)。。。。(rn)Perm(Rn)构成。

程序代码：

[cpp] view plaincopy
//2-4 排列问题  
#include "stdafx.h"  
#include <iostream>       
using namespace std;   
  
template <class Type>  
inline void Swap(Type &a,Type &b);  
  
template <class Type>  
void Perm(Type list[],int k,int m);  
  
int main()  
{  
    int list[3];  
    for(int i=0; i<3;i++)  
    {  
        list[i] = i+1;  
    }  
    Perm(list,0,2);  
    return 0;  
}  
  
template <class Type>  
inline void Swap(Type &a,Type &b)  
{  
    Type temp = a;  
    a = b;  
    b = temp;  
}  
  
template <class Type>  
void Perm(Type list[],int k,int m)  
{  
    //只剩下一个元素  
    if(k == m){  
        for(int i=0; i<=m; i++)  
        {  
            cout<<list[i]<<" ";  
        }  
        cout<<endl;  
    }  
    else  
    {  
        //将list[k:m}中的每一个元素分别与list[k]中的元素交换  
        //然后递归计算list[k+1:m]的全排列，将计算结果作为list[0:k]后缀  
        for(int i=k; i<=m;i++){  
            Swap(list[k],list[i]);  
            Perm(list,k+1,m);  
            Swap(list[k],list[i]);  
        }  
    }  
}  

运行结果：

2、整数划分问题

将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+n3+......nk(其中，n1>=n2>=......nk>=1,k>=1),正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数,记作p(n)。例如：正整数6有11总不同的划分

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

记q(n,m)为正整数n的所有不同划分中，最大加数n1不大于m的划分个数。可以建立如下递推关系:

前面三个递推式比较好理解，关键是第四个递推式。当n>m>1时，n的划分由两部分组成。以整数q(6,3)为例，q(n,m-1)内容是第5排和第6排内容，不大于2的6的划分；q(n-m,m)内容是第4排,不大于3的(6-3=3)的划分。

程序代码：

[cpp] view plaincopy
//2-4 整数划分问题  
#include "stdafx.h"  
#include <iostream>       
using namespace std;  
  
int q(int n,int m);  
  
int main(){  
    cout<<q(6,6)<<endl;  
    return 0;  
}  
  
int q(int n,int m)  
{  
    if( n<1 || m<1)  
    {  
        return 0;  
    }  
    else if(n==1 || m==1)  
    {  
        return 1;  
    }  
    else if(n<m)  
    {  
        return q(n,n);  
    }  
    else if(n==m)  
    {  
        return q(n,m-1) + 1;  
    }  
    else  
    {  
        return q(n,m-1) + q(n-m,m);  
    }  
}  

3、汉诺塔问题

这个问题大家都比较熟悉。这里直接给出程序清单。

[cpp] view plaincopy
//2-6 Hanoi问题  
#include "stdafx.h"  
#include <iostream>       
using namespace std;  
  
void hanoi(int n,char a,char b,char c);  
  
int main(){  
    char a = 'A',b = 'B',c='C';  
    hanoi(3,a,b,c);  
    return 0;  
}  
  
//借助c,将n个盘子从a移到b  
void hanoi(int n,char a,char b,char c)  
{  
    if(n>0)  
    {  
        hanoi(n-1,a,c,b);//借助b,将n-1个盘子从a移到c  
        cout<<"将"<<a<<"中最大的盘子从"<<a<<"移到"<<b<<endl;  
        hanoi(n-1,c,b,a);//借助a，将n-1个盘子从c移到b  
    }  
}  

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