隐马尔可夫模型及的评估和解码问题

原文来自:博客园（华夏35度）http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:Orisun

HMM介绍

Hidden Markov Models是一种统计信号处理方法,模型中包含2个序列和3个矩阵:状态序列S、观察序列O、初始状态矩阵P、状态转移矩阵A、混淆矩阵B。举个例子来说明。

你一个异地的朋友只做三种活动：散步、看书、做清洁。每天只做一种活动。假设天气只有两种状态：晴和兩。每天只有一种天气。你的朋友每天告诉你他做了什么，但是不告诉你他那里的天气。

某一周从周一到周五每天的活动分别是{读书，做清洁，散步，做清洁，散步}----这就是观察序列O，因为你可以观察得到。

从周一到周五的天气依次是{晴，兩，晴，晴，晴}----这就是状态序列S，状态序列是隐藏的，你不知道。

根据长期统计，某天晴的概率是0.6，兩的概率是0.4。则。

从晴转晴的概率是0.7，从晴转兩的概率是0.3。从兩转晴的概率是0.4，从兩转兩的概率是0.6。则。

天气晴时，散步的概率是0.4，看书的概率是0.3，做清洁的概率是0.3。天气兩时，散步的概率是0.1，看书的概率是0.4，做清洁的概率是0.5。则。

该模型和实际情况有明显不符的地方：用一简单的状态转移矩阵A来表示状态的转移概率的前提是t时刻的状态只跟t-1时刻的状态有关，而实际上今天的天气跟过去几天的天气都有关系，而且跟过去几天的晴朗程度、兩量大小都有关系；混淆矩阵B认为今天的活动只跟今天的天气有关系，实际上今天的活动跟过去几天的活动也有关系，比如过去一周都没有打扫房间，那今天做清洁的概率就大大增加。

模型介绍完了。

评估问题

隐马尔可夫模型中包含一个评估问题：已知模型参数，计算某一特定输出序列的概率。通常使用forward算法解决。 

比如计算活动序列{读书，做清洁，散步，做清洁，散步}出现的概率，就属于评估问题。

如果穷举的话，观察序列会有2^5种，需要分别计算它们出现的概率，然后找出概率最大的。

穷举法中有很多重复计算，向前算法就是利用已有的结果，减少重复计算。

算法借助于一个矩阵Q[LEN][M]，其中M是所有状态的种数，Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj的所有可能的隐藏序列的概率之和。最终所求结果为Q[LEN-1][0]+...+Q[LEN-1][M-1]，即最后一天，所有隐藏状态下，分别满足观察序列的概率值之和。

比如Q[0][0]=p(第一天做卫生 且 第一天晴)=p(天晴)*p(做卫生|天晴)=P[0]*B[0][2]=0.6*0.3=0.18

Q[0][1]=p(第一天做卫生 且 第一天下雨)=p(下雨)*p(做卫生|下雨)=P[1]*B[1][2]=0.4*0.5=0.2

Q[1][0]=p(第一天做卫生 且 第二天晴 且 第二天做卫生)

=p(第一天做卫生 且 第二天晴)*p(天晴的情况下做卫生)

=p{ p(第一天做卫生 且 第一天晴)*p(从天晴转天晴)+p(第一天做卫生 且 第一天下雨)*p(从下雨转天晴) }*p(天晴的情况下做卫生)

={ Q[0][0]*A[0][0] + Q[0][1]*A[1][0] } * B[0][2]

Q[1][1]= ……

…… ……

可以看到计算Q矩阵的每i行时都用到了第i-1行的结果。

解码问题

解码问题是：已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列O(LEN)的隐含状态的序列。通常使用Viterbi算法解决。 

观察序列长度为LEN，则隐藏状态序列长度也是LEN，如果采用穷举法，就有M^LEN种可能的隐藏状态序列，我们要计算每一种隐藏状态到指定观察序列的概率，最终选择概率最大的。

穷举法中有很多重复计算，Viterbi算法就是利用已有的结果，减少重复计算。

跟评估问题非常相似，不同点在于评估算的是和，解码算的是最大值。

Viterbi算法主要就是在计算一个矩阵Q[LEN][M]，其中Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。另外还要建立一个矩阵Path[LEN][M]，用来记录状态序列中某一状态之前最可能的状态。

举个例子，假如指定观察序列是{读书，做卫生，散步，做卫生，散步}，求出现此观察序列最可能的状态序列是什么。

Q[0][0]=p(第一天读书 且 第一天晴)=p(天晴)*p(读书|天晴)

Path[0][0]=-1;

Q[0][1]=p(第一天读书 且 第一天下雨)=p(下雨)*p(读书|下雨)

Path[0][1]=-1;

关键是从第二天开始，Q[1][0]表示：满足“第一天读书 且 第二做卫生 且 第二天晴”的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。那么满足“第一天读书 且 第二做清洁 且 第二天晴”的所有可能的隐藏序列有哪些呢？第二天是必须满足晴天的，第二天之前的状态可以任意变。则所有可能的隐藏序列就是“晴  晴”和“雨  晴”。实际上考虑第三天（及第三天以后）时，并不需要考虑“所有”可能的隐藏序列，而只需要考虑第二天的不同状态取值，这是因为马氏过程有无后效性--tm时刻所处状态的概率只和tm-1时刻的状态有关，而与tm-1时刻之前的状态无关。

Q[1][0]=

max{ p(第一天晴 且 第一天读书 且 第二天晴 且第二天做卫生) ，p(第一天下雨 且 第一天读书 且 第二天晴 且 第二天做卫生) }

=max{ p(第一天读书 且 第一天晴)*p(天晴转天晴)，p(第一天读书 且 第一天下雨)*p(下雨转天晴) } * p(做卫生|天晴)

=max{ Q[0][0]*A[0][0]，Q[0][1]*A[1][0] } * B[0][2]

假如Q[0][0]*A[0][0] < Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=1；假如Q[0][0]*A[0][0] > Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=0。

Q[1][1]= ……

…… ……

可以看到计算Q矩阵的每i行时都用到了第i-1行的结果。

 

下面给出两种算法的Java代码：

 

package hmm;/** * @author Orisun * date 2011-10-20 */import java.util.ArrayList;import java.util.Collections;public class HMM {    ArrayList<String> state;    ArrayList<String> observation;    double[] P;    double[][] A;    double[][] B;    int M;    int N;    HMM() {        // 天气只有两种状态：晴和兩。每天只有一种天气。        state = new ArrayList<String>();        state.add("sunny");        state.add("rain");        M = state.size();        // 活动只有三种：散步、看书、做清洁。每天只做一种活动。        observation = new ArrayList<String>();        observation.add("walk");        observation.add("read");        observation.add("clear");        N = observation.size();        // 初始状态矩阵。某天晴的概率是0.6，兩的概率是0.4。        P = new double[] { 0.6, 0.4 };        // 状态转移矩阵。        A = new double[M][];        // 从晴转晴的概率是0.7，从晴转兩的概率是0.3        A[0] = new double[] { 0.7, 0.3 };        // 从兩转晴的概率是0.4，从兩转兩的概率是0.6        A[1] = new double[] { 0.4, 0.6 };        // 混淆矩阵        B = new double[M][];        // 天气晴时，散步的概率是0.4，看书的概率是0.3，做清洁的概率是0.3。        B[0] = new double[] { 0.4, 0.3, 0.3 };        // 天气兩时，散步的概率是0.1，看书的概率是0.4，做清洁的概率是0.5。        B[1] = new double[] { 0.1, 0.4, 0.5 };    }    public double forward(ArrayList<String> observe) {        double rect = 0.0;        int LEN = observe.size();        double[][] Q = new double[LEN][];        // 第一天计算，状态的初始概率，乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。        Q[0] = new double[M];        for (int j = 0; j < M; j++) {            Q[0][j] = P[j] * B[j][observation.indexOf(observe.get(0))];        }        // 第一天以后的计算，首先从前一天的每个状态，转移到当前状态的概率求和，然后乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。        for (int i = 1; i < LEN; i++) {            Q[i] = new double[M];            for (int j = 0; j < M; j++) {                double sum = 0.0;                for (int k = 0; k < M; k++) {                    sum += Q[i - 1][k] * A[k][j];                }                Q[i][j] = sum * B[j][observation.indexOf(observe.get(i))];            }        }        for (int i = 0; i < M; i++)            rect += Q[LEN - 1][i];        return rect;    }    public ArrayList<String> viterbi(ArrayList<String> observe) {        ArrayList<String> sta = new ArrayList<String>();        int LEN = observe.size();        double[][] Q = new double[LEN][];        int[][] Path = new int[LEN][];        // 第一天计算，状态的初始概率，乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。        Q[0] = new double[M];        Path[0] = new int[M];        for (int j = 0; j < M; j++) {            Q[0][j] = P[j] * B[j][observation.indexOf(observe.get(0))];            Path[0][j] = -1;        }        //第一天以后的计算，首先从前一天的每个状态，转移到当前状态的概率的最大值，然后乘上隐藏状态到观察状态的条件概率。        for (int i = 1; i < LEN; i++) {            Q[i] = new double[M];            Path[i] = new int[M];            for (int j = 0; j < M; j++) {                double max = 0.0;                int index = 0;                for (int k = 0; k < M; k++) {                    if (Q[i - 1][k] * A[k][j] > max) {                        max = Q[i - 1][k] * A[k][j];                        index = k;                    }                }                Q[i][j] = max * B[j][observation.indexOf(observe.get(i))];                Path[i][j] = index;            }        }        // 找到最后一天天气呈现哪种状态的概率最大        double max = 0;        int index = 0;        for (int i = 0; i < M; i++) {            if (Q[LEN - 1][i] > max) {                max = Q[LEN - 1][i];                index = i;            }        }        System.out.println("出现最可能的隐藏序列的概率是"+max);        sta.add(state.get(index));        // 动态规划，逆推回去各天出现什么天气概率最大        for (int i = LEN - 1; i > 0; i--) {            index = Path[i][index];            sta.add(state.get(index));        }        // 把状态序列再顺过来        Collections.reverse(sta);        return sta;    }        public static void main(String[] args) {        HMM hmm = new HMM();        ArrayList<String> obs_seq = new ArrayList<String>();        obs_seq.add("read");        obs_seq.add("clear");        obs_seq.add("walk");        obs_seq.add("clear");        obs_seq.add("walk");        double ratio = hmm.forward(obs_seq);        System.out.println(ratio);        ArrayList<String> sta_seq = hmm.viterbi(obs_seq);        System.out.println(sta_seq.toString());    }}