柱状图中找到最大的矩形

在柱状图中找到最大的矩形：给一组非负的整数来表示一个柱状图，设计一个算法找到最大面积的能适合到柱状图内的矩形。比如，对于这组数，1 2 3 4 1，有两种可能的方案，一种是适合到2 3 4内的矩形，面积是23；另一种是适合到3 4内的矩形，面积是32.你觉的能有O(n)算法没？

初次看此题目，可能不是很明白，现在贴张图在下，看着就清楚题目的意思了。

分析

以上面图中给出的数据为例，最大的矩形是浅黄的矩形，3*5的大小，这个结果可以一眼就从图中扫出来。当遇到程序时，这要找到一个合理的判断过程，一步步来求解出最大的矩形面积。

从左至右开始看，首先是数字1，以1为高度的矩形，长度最大可以达到图的末尾，其矩形的面积为1*9=9。 其次是数字2，以2为高度的矩形，长度最大为7，则矩形面积为2*7=14。 再次是数字3，以3为高度的矩形，长度最大是5，则矩形面积为3*5=15。 接着数字4，数字4之后就被下一个数字断开了，长度最大为1，则矩形面积为 4*1=4 。

后面接着数字3，小于上一个数字4，但与上上个数字一样大。 依次类推。

观察这个过程，如果要在O(n)的时间内找到最大的面积，则需要记录下来每个高度为N的矩形，其长度最大可以达到多少。这样就分为两种情况，如图中描述的，首先是高度N越来越大，其次是高度N越来越小。

1.在高度N越来越大时，其上一个数字构成的高度的矩形的最大长度则增加1，例如，2 3，高度为3时，则高度为2的矩形的长度就加1. 2.在高度N越来越小时，其上一个数字构成的高度的矩形的最大长度就不变，例如 4 3，高度为4时，其构成的矩形长度为1，到了3，矩形长度没有递增，而4之前的数字3构成的矩形的长度也加1。

有了上面这两条分析，就可以使用一个stack来存储矩形的高度和长度，其中长度会动态的变化。当遇到一个数字大于栈顶数字的时候就压入栈，小于栈顶的数字就弹出栈，在这个动态过程中，更新最大的矩形面积。

代码

#include<iostream>#include<iterator>#include<stack>using namespace std;void print(stack<pair<int,int> > mstack){    while(!mstack.empty()){        cout << "<" << mstack.top().first << "," << mstack.top().second << ">" << endl;        mstack.pop();    }}int maxrectangle(int *array, int len){    if(array == NULL || len <= 0)        return 0;    stack<pair<int,int> > mstack;    int top = 0,max = 0;    int i = 0;    while(i < len){        if(array[i] > top){            mstack.push(make_pair(array[i],1));        }else{            int pre = 0;            while(array[i] < top){                int time = mstack.top().second;                pre += time;                max = top*pre > max ? top*pre : max;                mstack.pop();                if(!mstack.empty())                    top = mstack.top().first;                else                    break;            }            if(!mstack.empty() && mstack.top().first == array[i])                mstack.top().second += pre+1;            else{                mstack.push(make_pair(array[i],pre+1));            }        }        print(mstack);        cout << "***********" << endl;        top = mstack.top().first;        ++i;    }    return max;}void test(int *array, int len){    cout << "max:" << maxrectangle(array,len) << endl;}int main(){    int array[] = {1,2,3,4,3,4,3,2,1};    //int array[] = {1,2,3,4,1};    int len = sizeof(array) / sizeof(int);    copy(array,array+len,ostream_iterator<int,char>(cout," "));    cout << endl;    test(array,len);    return 0;}

输出结果为：

1 2 3 4 3 4 3 2 1 <1,1>***********<2,1><1,1>***********<3,1><2,1><1,1>***********<4,1><3,1><2,1><1,1>***********<3,3><2,1><1,1>***********<4,1><3,3><2,1><1,1>***********<3,5><2,1><1,1>***********<2,7><1,1>***********<1,9>***********max:15

总结

整个过程需要对数据进行压栈入栈操作，故复杂度在O(n)，空间复杂度也是O(n)。

这个题是在陈老师微薄上看到的，这个题是另一个题的简单版，复杂的题是在在一个位图中找到面积最大的白色矩形：给一个N*N的黑白位图，找一个面积最大的全白色的矩形。

根据上面的思路，这个求最大的白色矩阵的思路应该是一行一行的来处理。譬如，从第一行开始，从该矩阵中构造出柱状图的数组来，然后根据上面的思路来得出当前的最大值，然后从第二行开始，又重复上面的操作。最样可以在O(n)的空间下，O(nn)的时间复杂度下解决问题，当然还可以用o(nn)的空间，一次就构造出每行出发所生成的柱状图的数组来。但是没有减少复杂度。